Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: алгебра и начала анализа Класс: 10 УМК (название учебника, автор, год издания): 1. Мордкович. А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред.А.Г. Мордковича - М: «Мнемозина», 2015 2. Мордкович. А.Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред.А.Г. Мордковича - М.: Мнемозина, 2015 Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый Тема урока: Формулы суммы (разности) синусов и косинусов двух аргументов Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 Место урока в системе уроков по теме: 1 Цель урока: вывести формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение; формировать умения применять данные формулы при решении упражнений. Задачи урока: совершенствование техники вычислений развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем Планируемые результаты: Знать: формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения. Уметь: преобразовывать суммы тригонометрических функций в произведения Техническое обеспечение урока: мультимедиа-проектор, экран, компьютер Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы): презентация, задания системы ЯКласс: http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskikh-vyrazhenii-9146/formuly-ponizheniia-stepeni-profilnyi-11908 Содержание урока I. Организационный момент. Приветствие, мотивация к учебной деятельности II. Самостоятельная работа. III. Устная работа. IV. Объяснение нового материала V. Итоги урока. Ход урока I. Организационный момент. Приветствие, мотивация к учебной деятельности II. Самостоятельная работа по карточкам или по выбору на сайте ЯКласс: http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskikh-vyrazhenii-9146/formuly-ponizheniia-stepeni-profilnyi-11908 Вариант 1 1. Найдите если и 2. Решите уравнение Вариант2 1. Найдите если и 2. Решите уравнение III. Устная работа. 1. Найдите значение выражения. а) б) в) при г) при х = –. 2. Решите уравнение. а) б) в) г) IV. Объяснение нового материала (презентация) 1. Основная задача учителя при объяснении данной темы – не заставить учащихся вызубрить формулы, а показать на достаточном числе примеров возможности применения их при решении тригонометрических уравнений и неравенств. 2. Мотивация изучения. При выполнении устной работы учащиеся вспомнили основной способ решения тригонометрических уравнений – сведение к простейшим: Так, левую часть уравнения мы преобразовали по формуле косинуса двойного аргумента. Предлагаем проблемную задачу: решить уравнение Слева стоит сумма синусов разных аргументов, справа – ноль. Возникает идея разложить левую часть на множители, и каждый сомножитель приравнять к нулю. Следовательно, необходима соответствующая формула. 3. Рассматриваем вывод формулы на с. 128–130 учебника. Выносим на доску следующую запись: V. Формирование умений и навыков. На этом занятии выполняем упражнения на усвоение формул. Учащиеся должны не автоматически переписывать формулы с доски, а проговаривать формулу: «Удвоенное произведение синуса полусуммы на косинус полуразности аргументов...» и т. д. 1-я группа. Упражнения на «прямое» применение формул сумм тригонометрических функций. № 22.1 (а; б), № 22.2 (а; б), № 22.3 (а; б), № 22.4 (а; б). Решение: № 22.1 (б). № 22.2 (б). № 22.3 (б). № 22.4 (б). = При выполнении этих упражнений учащиеся должны использовать четность и нечетность тригонометрических функций, а также формулы приведения. 2-я группа. «Подведение» выражения под формулу суммы тригонометрических функций. № 22.5, № 22.6 (а; б), № 22.7, № 22.8 (а; б), № 22.9 (а; б). Решение: № 22.5 (г). № 22.6 (а). № 22.7 (б). № 22.8 (б). – верное равенство. № 22.9 (б). Преобразуем левую часть тождества: – тождество верно. VI. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Назовите формулу преобразования суммы (разности) синусов в произведение. – Назовите формулу преобразования суммы (разности) косинусов в произведение. – Представьте в виде произведения Домашнее задание: № 22.1 (в; г) – № 22.4 (в; г), № 22.6 (в; г), № 22.8 (в; г), № 22.9 (в; г).
Автор(ы): Ушакова Г. И.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Ушакова Г. И.).docx Название предмета: алгебра и начала анализа
Класс: 10
УМК (название учебника, автор, год издания):
1. Мордкович. А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред.А.Г. Мордковича - М: «Мнемозина», 2015
2. Мордкович. А.Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред.А.Г. Мордковича - М.: Мнемозина, 2015
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый
Тема урока: Формулы суммы (разности) синусов и косинусов двух аргументов
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: 2
Цель урока: продолжить формировать умения преобразовывать тригонометрические выражения с помощью формул суммы (разности) синусов и косинусов двух аргументов; формировать умение решать тригонометрические уравнения с помощью указанных формул. Задачи урока:
совершенствование техники вычислений
развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем
Планируемые результаты:
Знать: формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения.
Уметь: преобразовывать суммы тригонометрических функций в произведения при решении тригонометрических уравнений
Техническое обеспечение урока: мультимедиа-проектор, экран, компьютер
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы): презентация
Содержание урока
I. Организационный момент. Приветствие, мотивация к учебной деятельности
II. Устная работа.
III. Объяснение нового материала
IV. Формирование умений и навыков.
V. Самостоятельная работа.
VI. Итоги урока.
Ход урока
I. Организационный момент. Приветствие, мотивация к учебной деятельности
II. Устная работа.
1. Представьте в виде произведения.
а) б)
в) г)
2. Решите уравнение, используя модель тригонометрической окружности.
а) б) в)
г) д) е)
III. Объяснение нового материала (презентация)
Рассматриваем примеры 1 и 2 со с. 130–132 учебника. Выясняем, что большая группа тригонометрических уравнений решается стандартным способом:
1) переносим все слагаемые в левую часть уравнения, справа – ноль;
2) представляем левую часть равенства в виде произведения тригонометрических функций;
3) приравниваем каждый сомножитель к нулю и находим корни;
4) записываем в ответ объединение полученных решений.
Не забываем напомнить, что сомножитель равен нулю при определенных значениях аргумента, для которого остальные сомножители не теряют смысл.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 22.10 (а; б).
Упражнение состоит из заданий, в которых используется «прямое» применение указанных формул.
Решение:
а)
или
Ответ:
2. № 22.11.
При решении этих упражнений используем группировку слагаемых.
Решение:
б)
или
Ответ:
Обращаем внимание, что слагаемые группируем не произвольно, а подбираем их таким образом, чтобы полусумма или полуразность аргументов равнялись третьему аргументу.
3. № 22.12 (а; б), № 22.13, № 22.15.
Решение:
№ 22.12 (а).
№ 22.13 (а).
При выполнении данного упражнения используем формулу понижения степени в «обратную» сторону.
№ 22.15.
а)
б)
V. Самостоятельная работа.
Вариант 1
1. Вычислите
2. Решите уравнение.
а) б)
Вариант 2
1. Вычислите
2. Решите уравнение.
а) б)
Вариант 3
1. Вычислите
2. Решите уравнение.
а) б)
Вариант 4
1. Вычислите
2. Решите уравнение.
а) б)
VI. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Назовите формулу преобразования суммы (разности) синусов в произведение.
– Назовите формулу преобразования суммы (разности) косинусов в произведение.
– Назовите алгоритм решения уравнения с использованием данных формул.
– В чем сущность приема группировки?
– Как определить, функции каких аргументов надо группировать? Приведите примеры.
Домашнее задание:
1. № 22.10 (в; г), № 22.12 (в; г), № 22. 14.
2. Решите уравнение.
а) б)
в) г)
д)
Автор(ы): Ушакова Г. И.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 2 (Ушакова Г. И.).docx Название предмета: алгебра и начала анализа
Класс: 10
УМК (название учебника, автор, год издания):
1. Мордкович. А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред.А.Г. Мордковича - М: «Мнемозина», 2015
2. Мордкович. А.Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред.А.Г. Мордковича - М.: Мнемозина, 2015
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый
Тема урока: Формулы суммы (разности) синусов и косинусов двух аргументов
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: 3
Цель урока: вывести формулу преобразования суммы Аsin х + Вcos х в произведение; формировать умение решать тригонометрические уравнения и преобразовывать тригонометрические выражения, содержащие «смешанные» суммы (синус и косинус).
Задачи урока:
совершенствование техники вычислений
развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем
Планируемые результаты:
Знать: основную формулу вспомогательного (дополнительного) аргумента.
Уметь:, преобразовывать выражения A sinx + В cosx в выражения вида С sin(x + t), т. е. выполнять переход от суммы двух функций с разными коэффициентами к одной из тригонометрических функций
Техническое обеспечение урока: мультимедиа-проектор, экран, компьютер
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы): презентация, задания системы ЯКласс:
http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskikh-vyrazhenii-9146/preobrazovanie-vyrazheniia-a-sin-x-b-cos-x-k-vidu-c-sin-x-t-profilnyi-12034/re-4bed38a4-2aaa-473d-ac73-d478c4950637
Содержание урока
I. Организационный момент. Приветствие, мотивация к учебной деятельности
II. Устная работа.
III. Объяснение нового материала
IV. Самостоятельная работа.
V. Итоги урока.
Ход урока
I. Организационный момент. Приветствие, мотивация к учебной деятельности
II. Устная работа.
1. Вычислить.
а) б) в)
г) д) е)
2. Решите уравнение.
а) б) в)
г) д) е)
III. Формирование умений и навыков.
1. Решение «смешанных» уравнений с помощью формул приведения.
Разбираем пример 1 со с. 130 учебника. Обращаем внимание учащихся, что важно при выборе аргумента в виде суммы сохранить знак исходной функции:
2. Первичное закрепление.
№ 22.16 (а; б).
Решение:
а)
или
(входит во второе решение)
Ответ:
б)
или
Объединение решений:
Ответ:
№ 22.17 (а; б).
а)
или
или или
Объединение решений:
Ответ:
При решении данных уравнений используются формулы понижения степени.
№ 22.19 (а; б).
Решение:
а)
Ответ: но
№ 22.20 (а).
Решение:
или
Ответ:
IV. Объяснение нового материала.
1. Рассматриваем вывод формулы на с. 132 учебника. Выносим на доску запись:
где
2. Разбираем примеры 3, 4, 5 со с. 133 учебника. Показываем, что с помощью данной формулы можно преобразовывать тригонометрические выражения, решать уравнения, находить наибольшее и наименьшее значения функции.
V. Самостоятельная работа по карточкам или на сайте ЯКласс:
http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskikh-vyrazhenii-9146/preobrazovanie-vyrazheniia-a-sin-x-b-cos-x-k-vidu-c-sin-x-t-profilnyi-12034/re-4bed38a4-2aaa-473d-ac73-d478c4950637
Вариант 1
1. Преобразуйте выражение к виду или .
2. Найдите область значений функции
3. Решите уравнение
Вариант 2
1. Преобразуйте выражение к виду или
2. Найдите область значений функции
3. Решите уравнение
Вариант 3
1. Преобразуйте выражение к виду или
2. Найдите область значений функции
3. Решите уравнение
Вариант 4
1. Преобразуйте выражение к виду или
2. Найдите область значений функции
3. Решите уравнение
VI. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Назовите основные формулы, использующиеся для решения тригонометрических уравнений.
– В формуле назовите значение коэффициента с.
– Что называется вспомогательным аргументом? Как вычислить вспомогательный (дополнительный) аргумент?
Домашнее задание: № 22.16 (в; г), № 22.17 (в; г), № 22.18, № 22.19 (в; г), № 22.21* (а), № 22.22* (а).
Автор(ы): Ушакова Г. И.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 3 (Ушакова Г. И.).rtf Название предмета: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10.
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть 1, Мордкович А.Г., 2011
Алгебра и начала математического анализа часть 2 задачник, Мордкович А.Г., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
Место урока в системе уроков по теме: Первый урок
Тип урока: урок изучения нового материала и систематизации знаний.
Цели:
Образовательные: ознакомить учащихся с формулами преобразования сумм тригонометрических функций в произведения, закрепить умения и навыки по применению формул тригонометрии при решении задач.
Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру; математический кругозор.
Воспитательные: воспитывать уверенность в своих знаниях; умение слушать других; содействовать воспитанию интереса к математике; воспитывать объективность и честность при контроле знаний; культуру поведения.
Задачи урока:
Создать условия для формирования у обучающихся представлений о формулах для преобразования сумм тригонометрических функций в произведения;
Создать условия для мотивации обучающихся в изучении формул преобразования сумм тригонометрических функций произведения;
способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
способствовать формированию таких качеств личности как ясность и точность мысли, самоконтроль;
продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.
Планируемые результаты: Сформировать навыки и умения применять формулы, преобразующие суммы тригонометрических функций в произведения при выполнении различных заданий по тригонометрии.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, доска, мел.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: http://www.yaklass.ru/
Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
Содержание урока:
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Устная работа. Повторить формулы: по цепочке:
sin 2 + cos 2 = 1; sin 2, cos 2; tg 2; ; ;
3. Изучение нового материала
На уроке выводятся формулы суммы и разности синусов (косинусов) из формул синуса (косинуса) суммы аргументов и синуса(косинуса) разности аргументов, решается несколько примеров на использование этих формул. Также решается несколько примеров на преобразование сумм тригонометрических функций в произведение.
1. Доказательство формулы суммы синусов
Доказать:
Доказательство:
Складывая равенства, получим:
В полученной формуле вводятся удобные обозначения:
Выразим и через Складывая и вычитая равенства, получим
В новых обозначениях имеем:
2. Примеры на применение формулы суммы синусов
1. а) Упростить:
Решение:
Ответ:
б) Вычислить:
Решение:
1)
2)
Ответ:
4. Доказательство формулы разности синусов
.
Доказательство:
Воспользуемся формулой суммы синусов и свойством нечетности синуса:
5. Применение формулы разности синусов
Упростить:
Решение:
Ответ:
Вычислить:
6. Доказательство формул суммы и разности косинусов учащиеся выполняют самостоятельно.
cos + cos = 2 coscos;
cos - cos = -2 Sin Sin .
7. Применение формул суммы и разности косинусов
Вычислить: cos 1050 + cos750
Решение: cos 1050 + cos750 = 2 cos cos= 2 cos900 cos150 = 2 0 cos15=0.
Вычислить: cos- cos
Решение: cos- cos= - 2 Sin Sin = - 2 Sin Sin=
= - 2 Sin Sin = - 2= -.
Итог урока:
На уроке рассматривались формулы, по которым сумма и разность синусов преобразовывается в произведение, и решались некоторые задачи.
8. Домашнее задание: п. 22, № 22.4-22.8(б), 22.20
Автор(ы): Евдокимава Н. И.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Евдокимава Н. И.).docx Название предмета: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10.
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть 1, Мордкович А.Г., 2011
Алгебра и начала математического анализа часть 2 задачник, Мордкович А.Г., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
Место урока в системе уроков по теме: Второй урок
Тип урока: урок первичного закрепления новых знаний.
Цели:
Образовательные: закрепить знания учащихся по формулам преобразования сумм тригонометрических функций в произведения, закрепить навыки по применению формул тригонометрии при решении задач.
Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру; математический кругозор.
Воспитательные: воспитывать уверенность в своих знаниях; умение слушать других; содействовать воспитанию интереса к математике; воспитывать объективность и честность при контроле знаний; культуру поведения.
Задачи урока:
Создать условия для закрепления у обучающихся формул для преобразования сумм тригонометрических функций в произведения при решении задач;
способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.
Планируемые результаты:
Учащиеся демонстрируют теоретические и практические знания о преобразовании тригонометрических выражений, применяя различные формулы.
Учащиеся могут свободно применять формулы тригонометрии при решении различных задач. Умеют добывать информацию по заданной теме в источниках различного типа. Могут выделить и записать главное, могут привести примеры.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, доска, мел.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: http://www.yaklass.ru,
Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
Содержание урока:
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Повторение теории и проверка домашнего задания по вопросам учащихся.
3. Устная работа:
1) Найдите значение выражения 5 – 4 sin
а) 2; б) -2; в) -1; г) 1.
2) Упростите выражение
а) cos ; б) -sin; в) sin ; г) cos .
4. Закрепление изученного материала
На уроке повторяются формулы суммы и разности косинусов и синусов, выводятся формулы суммы и разности тангенсов, решается задача на преобразование в произведение суммы разноименных функций. Также решается несколько примеров на упрощение и решение уравнений.
2. Доказательство формул суммы и разности тангенсов
Доказать:
а)
б)
Доказательство:
а)
б)
Итак, формулы доказаны:
3. Преобразование в произведение суммы разноименных функций
1. Задание: преобразовать в произведение суммы разноименных функций
1)
Решение: поскольку , то
Ответ:
2)
Решение:
Ответ: .
4. Закрепление. Решение уравнений
а) Решить уравнение:
Решение:
а)
б)
Ответ:
б) Решить уравнение:
Решение:
Рис. 1. Рис. 2.
Иллюстрацию расположения корней на единичной окружности смотри на рисунках 1-2.
Ответ:
в) Решить уравнение: .
Решение:
Рис. 1. Рис. 2.
Решения второго уравнения (см. рис.2) содержатся в решении первого (см. рис.1), потому в ответ записываются только решения первого уравнения. Можно объяснить этот факт аналитически: формула уже содержит в себе , потому решения уравнения содержатся в решениях
Ответ:
5.Доказать тождество:
Доказательство:
Преобразования равносильны при Тождество доказано с помощью формул, которые позволяют суммы тригонометрических функций преобразовать в произведение.
6. Итог урока
На уроке рассматривались формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение и решались некоторые задачи.
7. Домашнее задание: п.22, № 22.10-22.13(а, б); № 22.16(в)
Автор(ы): Евдокимава Н. И.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Евдокимава Н. И.).docx Название предмета: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10.
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть 1, Мордкович А.Г., 2011
Алгебра и начала математического анализа часть 2 задачник, Мордкович А.Г., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа
Место урока в системе уроков по теме: Третий урок
Тип урока: Урок повторения и систематизации знаний
Цели:
Образовательные: закрепить знания учащихся по формулам преобразования сумм тригонометрических функций в произведения, закрепить навыки по применению формул тригонометрии при решении задач.
Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру; математический кругозор.
Воспитательные: воспитывать уверенность в своих знаниях; умение слушать других; содействовать воспитанию интереса к математике; воспитывать объективность и честность при контроле знаний; культуру поведения.
Задачи урока:
Создать условия для закрепления у обучающихся формул для преобразования сумм тригонометрических функций в произведения при решении задач;
способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.
Планируемые результаты: Сформировать навыки и умения применять формулы, преобразующие суммы тригонометрических функций в произведения при выполнении различных заданий по тригонометрии.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, доска, мел, карточки.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: http://www.yaklass.ru,
Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
Содержание урока:
Ход урока
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
Учитель отвечает на вопросы учащихся по домашнему заданию.
3. Устные упражнения.
Вычислить:
а) сos 1200∙cos 300 + sin 1200∙sin 300
б ) sin 300∙cos 1500 + cos 300∙sin 1500
в)
4. Самостоятельная работа.
Учащиеся работают по карточкам (по выбору).
Карточка 1
Карточка 2
Карточка 3
Карточка 4
Вычислить
Карточка 5
Карточка 6
Карточка 7
Карточка 8
Решить уравнение
Карточка 9
Карточка 10
Решить уравнение
Карточка 11
Карточка 12
Решить уравнение
5. Закрепление. Решение задач.
Решить задания из № 22. 23-22.25 по схеме: (а) – учитель у доски; (б) – ученик у доски; (в) – самостоятельно; (г) – ученик у доски.
6. Домашнее задание: п. 22, № 22.27-22.29(в, г), 22.31 (а).
Автор(ы): Евдокимава Н. И.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 3 (Евдокимава Н. И.).docxАвтор(ы): Ушакова Г. И.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 2 (Ушакова Г. И.).pptx
