Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе
Тема: Степенные функции, их свойства и графики
Цели урока:
Образовательная - Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Степенные функции, их свойства и графики» при решении задач повышенного уровня сложности, подготовка к ЕГЭ;
Развивающая – Формирование способности анализировать, обобщать полученные знания. Формирование логического мышления. Развитие творческого потенциала учащихся;
Воспитательная – Повышение интереса к получению новых знаний, воспитание графической культуры, формирование навыков умственного труда через поиск рациональных путей решения задач.
Тип урока: урок- практикум.
Оборудование: - Персональный компьютер.
Проектор
- Презентация.
Ход урока
I. Организационный момент
Сообщается тема занятия, цель.
На предыдущих уроках мы с вами изучили все известные вам графики и свойства степенной функции, научились решать ключевые задачи. Сегодня на уроке систематизируем полученные знания и научимся их применять при решении задач повышенного уровня сложности.
II. Актуализация знаний учащихся Выполнение теста № 1(самопроверка –слайд 2,3)
Тест №1
Функция
Область определения
Множество значений
Четность, нечетность
Возрастание/убывание
График
,
,
,
,
,
- нецелое
,
- нецелое
-
III. Решение задач повышенного уровня сложности Используя свойства степенных функций и их графики, рассмотрим различные задачи повышенной сложности
Задача №1
При каком значении функция имеет максимум в точке ?
Решение: Под знаком радикала стоит квадратный трехчлен, в котором коэффициент перед - отрицательное число. Следовательно, графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Поэтому трехчлен принимает наибольшее значение, равное ординате вершины параболы. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле . Значит, свое наибольшее значение эта функция достигает при .
При функция убывает, а при - возрастает. Поэтому - точка максимума функции .
Так как функция непрерывна и возрастает на всей области определения, то заданная функция имеет максимум в точке . Следовательно, , откуда . Ответ: 9
Задача№2
При каких значениях область определения функции состоит из одной точки?
Решение: Область определения данной функции равносильна следующей системе:
В условии задачи сказано, что область определения функции состоит из одной точки, т.е. записанная система неравенств имеет единственное решение. Это возможно в следующих случаях:
1) Парабола имеет единственный корень, и он меньше либо равен 1, а это значит, что дискриминант квадратного уравнения и абсцисса вершины параболы не больше 1. Получаем систему:
Из двух корней уравнения выберем не превышающий единицу, т.е. .
2) Парабола имеет два корня, и меньший из них равен 1.
Найдем корни квадратного уравнения :
Выберем из них меньший и приравняем его к 1:
Получили иррациональное уравнение, решив которое получим .
Ответ: , .
Задача №3
Докажите, что при (неравенство Бернулли) .
Доказательство: Данное неравенство равносильно неравенству
Рассмотрим функцию
Она определена при и непрерывна как сумма непрерывных функций. Нужно доказать, что при .
Заметим, что при , то есть неравенство верно при . Остается доказать, что при , то есть что функция возрастает на интервале .
Но если , то , тогда , т.е. при , а это значит, что функция возрастает.
Значит, при или для ч.т.д.
Задача №4
Решите уравнение
Решение. Очевидно, что - решение уравнения. Функция монотонно возрастает на , поэтому на этом промежутке других решений нет. На интервале решений тоже нет, так как на нем значения функции меньше 1. Итак, - единственное решение.
Ответ:
Задача №5
Найти область значений функции .
Решение. Областью значений квадратичной функции является промежуток . Фиксируем произвольное из промежутка , откуда .
Уравнение . Существует такое, что . Поэтому так как при тех , когда , то функция может принимать значения внутри отрезка .
Ответ: .
Задача №6 Упростить
Задачи №1, №2, №3 решаются у доски с подробным разбором. Задачи № 4, №5, №6
индивидуально с последующей проверкой.
IV Самостоятельная работа
Вариант 1. (Вариант 2.)
Задача №1 Схематически изобразить график степенной функции, найти область значений функции: 1.; 2.;
(1.;2.)
Задача №2 Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а.; ( б. )
V Разбор домашнего задания по материалам ЕГЭ
Задача№1
найти область определения функции
Задача №2 Решить неравенство:
Задача №3
решить графически уравнение
VI Итог урока
Сегодня мы на уроке систематизировали знания, полученные ранее по степенной функции и научились их применять при решении задач повышенного уровня сложности.
За урок вам будут выставлены оценки за тест и за самостоятельную работу.
Автор(ы): Кузнецова С. Д.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.doc Название предмета: Алгебра и начала математического анализа
Класс: 11
УМК: Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, в 2-х ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 8-е издание., стер. – М.: Мнемозина, 2014г.
Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных организаций (профильный уровень)/ под ред. А.Г. Мордкович – 8-е издание., стер. – М.: Мнемозина, 2014г.
Уровень обучения: Профильный.
Тема урока: Степенные функции их свойства и графики.
Общее кол-во часов, отведенное на изучение темы: 4 часа.
Место урока в системе уроков: 3 урок по теме.
Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Степенные функции, их свойства и графики» при решении задач повышенного уровня сложности, подготовка к ЕГЭ.
Задачи урока:
- Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Степенные функции, их свойства и графики» при решении задач повышенного уровня сложности, решить задачи ЕГЭ;
– Развить способность анализировать, обобщать полученные знания. Формировать логическое мышления. Развивать творческий потенциал учащихся;
– Повысить интерес к получению новых знаний, формировать навык умственного труда через поиск рациональных путей решения задач.
Планируемые результаты: Умение применять свойства степенной функции при решении задач повышенного уровня сложности.
Техническое обеспечение урока: персональный компьютер, проектор.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
1. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2014. Математика. Задача С4/Под ред. А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. – М.:МЦНМО, 2015. – 120с
2. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2014. Математика. Задача С5/Под ред. А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. – М.:МЦНМО, 2015. – 120с
3. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2014. Математика. Задача С6/Под ред. А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. – М.:МЦНМО, 2015. – 120с
4. Лаппо, Л.Д. ЕГЭ 2014. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ/Л.Д.Лаппо, М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. – 63, с. (Серия «ЕГЭ. Практикум»)
5. ЕГЭ 2014. Математика. Типовые тестовые задания/ И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров, В.С. Панферов, С.Е. Посицельский, А.В. Семёнов, А.Л. Семёнов, М.А. Семёнова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э.Шноль, И.В. Ященко; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2015. – 55, с. (Серия «ЕГЭ 2014. Типовые тестовые задания»)
6. ЕГЭ 2014. Математика: тренировочные задания/ Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. – М.: Эксмо, 2013. – 80 с. – (ЕГЭ. Тренировочные задания).
7. ЕГЭ – 2015. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/под ред. А.Л.Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2016. – 240 с. – (ЕГЭ-2016. ФИПИ – школе)
8. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/ А.Л. Семёнов, И.В. Ященко и др. – М.: Издательство «Экзамен», 2015.
Интернет ресурсы
1. http://reshuege.ru/
2. http://shpargalkaege.ru/
3. http://alexlarin.net/
4. http://mathege.ru/or/ege/Main
5. http://mathgia.ru/or/gia12/Main
6. открытый банк заданий на сайте: http://mathgia.ru
7. открытый банк заданий на сайте ФИПИ http://fipi.ru
Содержание урока:
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний учащихся
III. Решение задач повышенного уровня сложности
IV. Самостоятельная работа
V. Разбор домашнего задания по материалам ЕГЭ
VI. Итог урока
Автор(ы): Кузнецова С. Д.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект 1.docxАвтор(ы): Кузнецова С. Д.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.pptx
