Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Предмет: Алгебра и начала анализа (профильный уровень)
УМК : 1. А.Г. Мордкович, П. В. Семенов “Алгебра и начала анализа 11 (профильный уровень)”, Москва “Мнемозина”, 2014.
2. А.Г. Мордкович и др. “Алгебра и начала анализа 11 класс (профильный уровень)”, задачник. Москва “Мнемозина” 2014.
Клаcc: 11
Учитель: Зубкова Л.В.
Тема урока "Многочлены от нескольких переменных"
(На данную тему отводится 3 часа. Это урок 2)
Цели: Обобщить и систематизировать теорию о многочленах от одной переменной, многочленах от нескольких переменных, рассмотреть приемы решения целых алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях.
Задачи:
Образовательные:
повторить деление многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и следствие, теорему о целом корне многочлена, схему Горнера;
сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения алгебраических уравнений;
научить применять ключевые задачи не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.
Развивающие
развить умения самостоятельного решения уравнений и задач, связанных с преобразованием многочленов;
содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;
ознакомить с логическими приемами мышления.
Воспитательные:
воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки;
содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке,
содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.
Тип урока: Урок решения ключевых задач.
Оборудование: проектор, компьютер, экран.
Презентация по теме «Многочлены от нескольких переменных»
Форма организации учебной деятельности: Индивидуальная, фронтальная, групповая, самопроверка.
План урока:
I. Организационный момент (постановка перед учащимися целей урока, сообщение плана урока)
II. Актуализация опорных знаний
повторение теории о многочленах: многочлены от одной переменной;
многочлены от нескольких переменных (демонстрация слайдов 1-3);
3. Фронтальная работа (устно)
1. Разложите на множители многочлены: (Слайд 4)
2 x (x-y) + 3 y ( x-y )
a ( a+ b) -5 b (a+b)
3 a (a+ z )+ ( a +z)
3a +3b +c (a+b)
2 (m +n ) +km + kn
by +4 ( x + y ) + bx
x y +xz + 6y + 6z
4a + 4 b + bx + ax
cb + 3 a + 3b +ac
cd + 2b +bd +2 c
p2x + p x2
2 ac -4 bc
3 x2 + 3 x3 y
6 a2b + 3 ab2
9 x2 – 4 y2
16 m2 – 9 n2
X3 +y3
a3 – 8 y 3
m2 + 3m -18
2 x2 + 3x+1
3 y 2 + 7 y – 6
3 a2 + 7 a + 2
7 n2 + 9 n + 2
6 m2 - 11 m + 3
2. Ответьте на вопросы:
Найдите степень суммы многочленов: х3 + 3х2 + 1 и х5 + х4 + 6х2 - 1.
Найдите степень произведения многочленов: (х2 - 1)(х3 + 1)(х + 1) и (х - 1)3(х + 1)2
Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х5 - 4х4 + 5х3 - 2х2 + 7х - 1 на (х – 1)
Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х4 - 2х3 + 8 х2 - х - 1?
Делится ли многочлен f (x) = х5 - 7х3 + х2 + 13х + 6 на (х + 1) нацело?
3. Как представить в виде произведения ?
1 группа: 6 m2 -13 mn – 5n2
2 группа: 6a2 – 5 a b – 6 b2 ?
III. Решение ключевых задач:
а) работа у доски:
Многочлен р (х;у) называют однородным многочленом n-ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n.
1. Дан многочлен f(x;y)= yx5y2x2+x3y4xy2-2x4y(-1)y5– y3y3x4 +15 x 4yx3y2+ x 2y 2(x5y-x2y4)
а) Приведите данный многочлен к стандартному виду.
б) Установите, является ли данный многочлен однородным.
в) Если данный многочлен является однородным, определите его степень
2. У доски ученики демонстрирует разложение на множители многочлена от двух переменных двумя способами
а) 6 m2 -13 mn – 5n2 (решает ученик с первой группы)
Решение: Разложим на линейные множители квадратный трехчлен
6 m2 -13 m n – 5n2 от переменной m с коэффициентами 6; - 13 n; -5 n2 ;
m1 = 5/2 n, m2 = – 1/3 n
6 m2 – 13 mn – 5n2 = 6(m – 5/2 n)( m + 1/3 n)= (2m – 5 n) (3 m + n)
Ответ: 6 m2 – 13 mn – 5n2 = (2m – 5 n) (3 m + n)
б) 6a2 – 5 a b – 6 b2 (решает ученик со второй группы)
Решение: Рассмотрим 6a2 –5ab – 6b2 как квадратный, относительно а с коэффициентами 6; -5 b; – 6 b2 , найдем корни a1 = -2/3 b или a2= 3/2 b, получим
6a2 – 5ab – 6b2 = 6(a +2/3 b)( a - 3/2 b)= (3a +2 b)( 2a - 3 b)
в) 5х2 + 27 ху +10 у (решают все с последующей самопроверкой)
Решение:
5х2 + 27 ху +10 у = 5 (х + 2у/5) (х+5у)
Д = 729 у2 – 200у2 = 529 у2
х1= - 2у/5,
х2= - 5у
3. Однородным уравнением называют уравнение вида р (х;у) =0, где р (х;у) однородный многочлен.
Рассмотрим изящный способ решения однородных уравнений.
Если х = 0, то у = 0, значит, пара (0; 0) – решение однородного уравнения
Пусть х0. Разделим обе части уравнения на х3 , получим: 1 + 4 . Введем новую переменную z = . Уравнение принимает вид 1 + 4z2 – 5z3 =0. Далее получаем уравнение (z -1)(5z2 +z + 1) =0. Если z = 1, то = 1, т.е. у = х. Это значит, что любая пара вида (t; t) – решение данного однородного уравнения.
Ответ: (t; t)
4. Многочлен р (х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х
Сиcтему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения – симметрические. Решим симметрическую систему: (работает учащаяся на интерактивной доске)
Решение: Введем две новые переменные х + у = u х у = v,
Воспользуемся выражением
х3 + у3 = (х + у)3 – 3х у (х + у), тогда система примет вид:
u3 – 3u (5 – u) + (5 – u) 3 = 17;
u3 – 15u + 3u2 + 125 – 75 u + 15u2 - u3 = 17:
18u2 - 90u + 108 = 0;
u2 - 5 u + 6 = 0: u1 = 2, u2 = 3, соответственно находим v1= 3, v2= 2.
Ответ: (1; 2); (2; 1).
IV.Закрепление полученных знаний
( Работа в группах)
1 группа № 2.2 учебника по возможности разложить на множители двумя способами
2 группа № 2.3 учебника по возможности разложить на множители двумя способами
( Проверка по слайдам 5-6) выставить себе оценку.
Работа с классом № 2.25 (б), 2.32 (б)
V. Задание на дом: №.2.1; № 2.25( а ). 2.32 (а)
VI. Подведение итогов урока. Рефлексия
На уроке я работал
Активно/пассивно
Своей работой на уроке я
Доволен/не доволен
Урок для меня показался
Коротким/длинным
За урок я
Не устал/устал
Мое настроение
Стало лучше/стало хуже
Материал урока мне был
Понятен/не понятен
Полезен/бесполезен
Интересен/скучен
Домашнее задание мне кажется
Легким/трудным
Интересным/не интересным
Автор(ы): Зубкова Л. В.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
