Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета
Алгебра и начала анализа
Класс
11
УМК (название учебника, автор, год издания)
А.Г.Мордкович Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 классы. Алгебра и начала математического анализа. В2Ч. (базовый уровень)/А.Г.Мордкович, П.В.Семенов.- 2-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный)
базовый
Тема урока
Уравнения с параметром:Объяснение нового материала
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
4
Место урока в системе уроков по теме
1 урок в теме
Цель урока
1. Обобщить знания и умения по применению методов решения уравнений с параметрами.
2. Развивать умение наблюдать, обобщать, анализировать математические ситуации.
3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.
Задачи урока
Образовательные задачи:
- изучить методы решения уравнений с параметрами;
- применить обобщенные знания, умения и навыки в новых условиях.
Развивающие задачи:
- создать содержательные и организационные условия для развития умений решать уравнения с параметром и находить различные способы их решения,
- побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.
Воспитательные задачи:
- формирование у учащихся познавательного интереса к математике, элементов культуры общения;
- побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.
Планируемые результаты
знать, понимать: определение уравнения с параметром, принципы решения уравнений содержащих параметр алгебраическим и графическим способом; методику решения уравнения.
уметь: применять методы решения уравнений с параметрами в зависимости от параметра.
Техническое обеспечение урока
компьютер, интерактивная доска, на столах учащихся оценочные листы.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
1. Козко А.И., ПанферовВ.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С5 / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко.- М.: МЦНМО, 2010 – 128с.
2. Сергеев И.Н ЕГЭ. Математика. Задания типа С / И.Н.Сергеев. – 3-е изд., М.: Издательство «Экзамен», 2010. – 334с.
3. Математика. Решение задач повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ. Учебное пособие./А.В.Семенов, И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.С.Трепалин, Е.А.Кукса. – М.: Интеллект-Центр, 2015. – 128 с.
4. ЕГЭ - 2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовку к единому государственному экзамену: профильный уровень /под ред. И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2016.- 135с.
УРОК 1: Уравнения с параметрами: основные понятия.
Содержание урока.
1. Организационный момент.
Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий кто желает к ним приобщиться должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением.
Адольф Дистервег
Учитель ориентирует учеников в работе с оценочными листами.
- Перед вами на партах лежат оценочные листы(Приложение 1), в которых вы будете выставлять себе баллы за проделанную работу. Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах.
Постановка целей и задач урока.
Устная работа:
Для каждого значения а решите относительно х и соедините с ответом, отгадайте слово:
1. а*х=1
2. (х-а)/(х-5)=0
3. x2=a
4. (х+1)/(х2-а2)=0
5. x3=a
6. √x=-a
7. |x|= a
8. (а2-9)х=а+3
Получившееся слово ПАРАМЕТР
Т если а<0, то хϵǾ, если а≥0, то х=±а
Е при а>0, хϵǾ, при а≤0, х=а2
М при любом а х=3√а
Р если а<0, то хϵǾ, если а>0, то х=±√а, если а=0, то х=0
А если а=5, то хϵǾ, если а≠5, то х=а
Р если а=-3, то хϵR,если а=3, то хϵǾ. если а≠±3, то х=1/(а-3)
А если а=±1, то хϵǾ, если а≠±1, то х=-1
П если а=0, то хϵǾ, если а≠0, то х=1/а
Итак, целью урока является решение уравнений с параметрами. Мы с вами вспомним что же такое уравнения с параметрами и вспомним основные способы их решения.
2. Актуализация уже имеющихся знаний.
Ответьте на вопросы:
Что такое уравнение с параметром?
Ответ учащихся: то уравнение в котором кроме переменной, есть еще одно произвольное действительное число обозначенное а и от которого зависит значение переменной.
Определение. Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.
Чаще всего встречаются две постановки задач.
Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.
Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.
Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.
Какие уравнения с параметром встречались нам в устной работе?
Ответ учащихся: линейные, рациональные, степенные, иррациональные, с модулем
Какие еще уравнения мы с вами изучили за последний год?
Ответ учащихся: показательные, тригонометрические, логарифмические.
Какие методы решения мы применяли на устном счете?
Ответ учащихся: аналитический метод.
Как вы знаете, уравнения и неравенства с параметрами включены в ЕГЭ под номером 18. Приступим к решению.
№ 1: Решим уравнение: (а – 1)х2 + 2(2а+1)х + (4а+3) = 0
Решение.
В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=l; 2) а≠1.
Рассмотрим эти случаи.
1. При a = 1 уравнение примет вид х + 7 = 0. Из этого уравнения находим х= - 7/6
2. Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D = 0 при а = ао, то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а < ао D < 0, а при а > ао D > 0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а < ао корней нет, так как D < 0, а при а > ао D > 0 уравнение имеет два корня).
Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения = (2a + 1)2 - (a - 1)(4a + 3). После упрощений получаем = 5а + 4.
Из уравнения = 0 находим a = – – второе контрольное значение параметра а. При этом если a < –, то D < 0; если a ≥ –, a ≠ 1, то D ≥ 0. Таким образом, осталось решить уравнение в случае, когда а < – и в случае, когда {a ≥ –, a ≠ 1}.
Если a < –, то уравнение не имеет действительных корней; если же {a ≥ –, a ≠ 1}, то находим .
Ответ: 1) если a < –, то корней нет; 2) если а = 1, то x = –; 3) a ≥ –, a ≠ 1, то .
№2: Найдите число решений уравнения =а в зависимости от параметра а.
Решение. Построим график функции у=
Уравнение имеет столько решений, сколько раз прямая у=а пересекает график функции у=
1) Если а<0, то решений нет, так как прямая у=а не пересекает график функции.
2) Если а=0, то решений два, так как прямая у=а касается графика функции в точках А и В.
3) Если 0<а<4, то решений четыре ( точки М, N, P, Q )
4) Если а=4, то решений три ( точки Е, К, Д )
5) Если а>4, то решений два ( точки S иT )
Ответ : 1) если а<0, решений нет,
2) если а=0 или а>4 – два решения,
1) если а<4 - четыре решения,
2) если а=4 – три решения.
№3: Для каждого значения параметра а определите число решений уравнения
Решение.
Преобразуем левую часть уравнения:
Строим схематически график левой части уравнения, учитывая, что Д=>0
Проводим горизонтальные прямые, являющиеся графиками функции у=а+3 при различных значениях параметра а.
1) Если а+3<0, то есть а<-3, то решений нет, так как прямая у=а+3 не пересекает график левой частим уравнения.
2) Если а+3=0, то есть а= -3, то решений два, так как будет две точки пересечения.
3) Если 0<а+3<а, то решений будет четыре.
Решим неравенство 0<а+3<а
4) Если а+3=ато а- а - 2=0, а = - 1, а=2, то решений будет четыре.
5) Если а+3>а+1 , то а- а - 2<0, -1<а<2. то решений будет два.
Ответ: 1) Если а<-3, то решений нет.
2) Если а = - 3 или -1<а<2, то 2 решения.
3) Если а>2 или -3<а<-1, то 4 решения.
4) Если а = -1 или а=2, то 3 решения.
3. Задание на дом.
Параграф 60 (читать и разобрать приведенные в учебники примеры)
№№ 60.2, 60.3, 60.11, 60.13
4. Подведение итогов урока или рефлексия.
Итак, что же мы изучали на уроке?
Ответ учащихся: Уравнения с параметрами это уравнения, в котором кроме переменной, есть еще одно произвольное действительное число обозначенное а и от которого зависит значение переменной.
Какие же методы решения мы применяли для решения уравнений с параметрами?
Ответ учащихся: Аналитический и графический.
Подведите итоги урока. В оценочном листе проставьте баллы, которые по вашему мнению заслужили за урок.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Оценочный лист учащегося
Фамилия ____________________________________________________
Имя _________________________________________________________
№ П/п
Этапы работы
Достижения
Количество баллов
1
Устный опрос.
Воспроизведение опорных знаний
2
Самостоятельная работа
Умения учащихся применять разные методы при решении уравнений с параметрами
3
Работа в группах.
Работа поискового характера. Умение решать нестандартные уравнения.
Итоговое количество баллов ____________
Оценка ____________
Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах.
Критерии оценок:
“5” 14 – 15 баллов
“4” 12 – 13 баллов
“3” 9 – 11 баллов.
Автор(ы): Хисамова Т. Ш.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
