Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета
Алгебра и начала анализа
Класс
11
УМК (название учебника, автор, год издания)
А.Г.Мордкович Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 классы. Алгебра и начала математического анализа. В2Ч. (базовый уровень)/А.Г.Мордкович, П.В.Семенов.- 2-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный)
базовый
Тема урока
Уравнения с параметром:Решение ключевых задач
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
4
Место урока в системе уроков по теме
2 урок в теме
Цель урока
1. Обобщить знания и умения по применению методов решения уравнений с параметрами.
2. Развивать умение наблюдать, обобщать, анализировать математические ситуации.
3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.
Задачи урока
Образовательные задачи:
- изучить методы решения тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений с параметрами;
- применить обобщенные знания, умения и навыки в новых условиях.
Развивающие задачи:
- создать содержательные и организационные условия для развития умений решать уравнения с параметром и находить различные способы их решения,
- побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.
Воспитательные задачи:
- формирование у учащихся познавательного интереса к математике, элементов культуры общения;
- побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.
Планируемые результаты
знать, понимать: принципы решения тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений содержащих параметр алгебраическим способом; методику решения уравнения.
уметь: применять методы решения уравнений с параметрами в зависимости от параметра.
Техническое обеспечение урока
компьютер, интерактивная доска, на столах учащихся оценочные листы.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
1. Козко А.И., ПанферовВ.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С5 / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко.- М.: МЦНМО, 2010 – 128с.
2. Сергеев И.Н ЕГЭ. Математика. Задания типа С / И.Н.Сергеев. – 3-е изд., М.: Издательство «Экзамен», 2010. – 334с.
3. Математика. Решение задач повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ. Учебное пособие./А.В.Семенов, И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.С.Трепалин, Е.А.Кукса. – М.: Интеллект-Центр, 2015. – 128 с.
4. ЕГЭ - 2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовку к единому государственному экзамену: профильный уровень /под ред. И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2016.- 135с.
УРОК 2: Уравнения с параметрами: решение ключевых задач.
Содержание урока.
1. Организационный момент.
Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий кто желает к ним приобщиться должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением.
Адольф Дистервег
Учитель ориентирует учеников в работе с оценочными листами.
- Перед вами на партах лежат оценочные листы, в которых вы будете выставлять себе баллы за проделанную работу. Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах.
Оценочный лист учащегося
Фамилия ____________________________________________________
Имя _________________________________________________________
№ П/п
Этапы работы
Достижения
Количество баллов
1
Устный опрос.
Воспроизведение опорных знаний
2
Самостоятельная работа
Умения учащихся применять разные методы при решении уравнений с параметрами
3
Работа в группах.
Работа поискового характера. Умение решать нестандартные уравнения.
Итоговое количество баллов ____________
Оценка ____________
Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах.
Критерии оценок:
“5” 14 – 15 баллов
“4” 12 – 13 баллов
“3” 9 – 11 баллов.
2. Постановка целей и задач урока.
Устная работа:
Решите уравнение:
Sin2x=-1/2
Tg (π+t)=-1
log6 (8-x)=log369
log4(x-7) = 2
5 4-x=25
(1/36)x-2=6
Сегодня на уроке мы будет решать тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения с параметрами.
3. Актуализация уже имеющихся знаний.
Задача1. Решить уравнение: cos = 2a.
Решение.
Так как E(cost) = [-1; 1], то имеем два случая:
1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений
2. При |a| ≤ 0,5
а) = arccos2a + 2n. Так как уравнение имеет решение, если = arccos2a + 2n ≥ 0, то n может принимать значения n = 0, 1, 2, 3, ... Решением уравнения является x = 1 + (2n + arccos2a)2.
b) = -arccos2a + n. Так как уравнение имеет решение при условии, что = -arccos2a + 2n > 0, то nN и решение уравнения. x = 1 + (2n - arccos2a)2.
Ответ: если |a| > 0,5 - решений нет; если |a| ≤ 0,5, x = 1 + (2n + arccos2a)2 при n = 0, 1, 2, ... и x = 1 + (2n - arccos2a)2 при nN.
Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение аcosx - x= 5 имеет единственный корень?
Решение.
acosx - x-5 = 0
Рассмотрим функцию f(x)=acosx - x- 5
Она четная, так как f(-x)=acos(-x) – (-x)- 5= acosx - x- 5=f(x)
Значит график этой функции симметричен относительно оси ординат. Получается, если корень только один ,то он обязательно равен 0 ( так как если х – корень, то и –х тоже будет являться корнем из-за симметричности графика)
Проверим, является ли х=0 корнем данного уравнения: а cos0 – 0 – 5=0, а =5.
х=0 необходимое, но не достаточное условие.
Проверим , есть ли при а=5 ещё корни у данного уравнения.
5cosx - x-5=0
Решаем это уравнение методом оценивания границ.
5 ( 1 )
-5, 5+x≥5
Значит, равенство (1) будет выполняться только в том случае , если обе его части равны 5.
Подставим х=0 в первое уравнение этой системы, получаем верное числовое равенство cos0=1, значит х=0 является корнем заданного уравнения, то есть это уравнение имеет единственный корень.
Ответ: при а=5
Данный метод решения уравнения с параметром называется метод симметрии.
Задача 3. При каких значениях параметра a уравнение имеет решения?
Решение: После замены переменной , где , исходная задача сводится к следующей: «при каких значениях параметра a уравнение
(6)
имеет хотя бы одно решение на множестве »?
Можно вычислить корни уравнения (6) и попытаться определить значения параметра, при которых хотя бы один из найденных корней удовлетворяет условию . Такой способ приведет к необходимости решения нескольких иррациональных неравенств, и назвать его рациональным нелегко.
Для решения данной задачи наиболее рациональным будет использование теоремы о расположении корней квадратного трехчлена.
Случай, когда только один из корней квадратного трехчлена
лежит на отрезке , разрешается условием
.
Решение этого неравенства имеет вид и .
Случай, когда оба корня рассматриваемого трехчлена лежат на отрезке , описывается системой неравенств
Решая эту систему, получаем и . Таким образом, исходное уравнение имеет решение при и .
Задача 4: При каких значениях параметра a уравнение
имеет единственное решение?
Решение: При уравнение примет вид , откуда . Если , то, положив , получим квадратное уравнение относительно t:
. (5)
Полученное уравнение имеет одно решение t, если его дискриминант равен нулю , откуда . При корень уравнения (5) , т.е. больше нуля, следовательно, исходное уравнение будет иметь один корень.
Не рассмотрен еще один случай, а именно, когда уравнение (5) имеет два решения, но только одно из них положительное. Это условие можно записать, используя теорему о знаках корней квадратного трехчлена с помощью следующего соотношения
.
Откуда получаем .
Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при и .
Задача 5: Найдите все значения а, при которых уравнение имеет ровно два решения
(log2(x-a) – log2(x-a))2 – 3a(log2(x-a) – log2(x-a)) + 2a2-a-1=0
Решение: Пусть t= log2(x-a) – log2(x-a), тогда уравнение запишется в виде
t2-3at +2a2-a-1=0
Решениями данного уравнения будут t=a-1 или t=2a+1. Значит, решения исходного уравнения это решения уравнений
log2(x-a) – log2(x-a)= a-1 log2(x-a) – log2(x-a)= 2a+1
Исследуем, сколько решений имеет уравнение log2(x-a) – log2(x-a)=b в зависимости от а и b. При а≠0 и x>a и x>-a, то есть при x>|a|, левая часть определена и принимает вид log2((x+a)/(x-a))=log2(1+(2a)/(x-a)). При x>|a| выражение 1+(2a)/(x-a) принимает по одному разу все значения из промежутка (1;+∞) для а>0 и принимает по одному разу все значения из промежутка (0;1) для а<0. Значит, x>|a| выражение log2 (1+(2a)/(x-a)) принимает по одному разу все значения из промежутка (0;+∞) при а>0 и принимает по одному разу все значения из промежутка (-∞;0) при а<0. Таким образом, уравнение log2(x-a) – log2(x-a)=b имеет одно решение при ab>0 и не имеет решений при а≠0 и ab≤0. При а=0 и x>0 уравнение принимает вид 0= b и либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений.
Уравнения log2(x-a) – log2(x-a)= a-1 и log2(x-a) – log2(x-a)= 2a+1 могут иметь общие решения при а-1=2а+1, то есть при а =-2. При а =-2 оба уравнения принимают вид log2(x-a) – log2(x-a)=-3 и имеют одно решение.
При других значениях а исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения log2(x-a) – log2(x-a)= a-1 и log2(x-a) – log2(x-a)= 2a+1 имеют по одному решению.
Получаем систему неравенств:
(а-1)а>0
(2a+1)a >0
То есть а<-0.5, a>1
Ответ: а<-0.5, a>1
4. Задание на дом.
Задачник ЕГЭ – 2016 50 вариантов разобрать задания №18 вариант35, 36
Найдите все значения а при которых уравнение имеет ровно два корня
(log5(x+3) – log5(x-3))2 – 7(log5(x+3) – log5(x-3)) - 4a2-6a+10=0
5. Подведение итогов урока или рефлексия.
Итак, что же мы изучали на уроке?
Ответ учащихся: Мы решали тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения с параметрами.
Какой метод решения мы применяли для решения данных уравнений с параметрами?
Ответ учащихся: Аналитический.
Подведите итоги урока. В оценочном листе проставьте баллы, которые, по вашему мнению, заслужили за урок.
Автор(ы): Хисамова Т. Ш.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
