Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Алгебра и начала математического анализа
11 класс
УМК - Алгебра и начала математического анализа, Мордкович А.Г., Семенов П.В.,
2014 г.
Уровень обучения - базовый
Тема урока: «Равносильность уравнений».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы - 2 урока
Цели урока:
обобщить и систематизировать знания обучающихся по наиболее важным вопросам, связанным с преобразованиями и решением уравнений с одной переменной.
развитие мышления обучающихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.
воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля.
Задачи урока:
выработать у обучающихся умение пользоваться теоремами равносильности уравнений;
осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений;
познакомить обучающихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений.
Ход урока
I . Организационный этап
II. Актуализация опорных знаний
1. Один учение работает у доски. Задание – решить уравнение. Дать определение равносильных уравнения, уравнения следствия.
Ответ: x=1
Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.
Определение 2. Если каждый корень уравнения f(x) = g(х) (1) является в то же время корнем уравнения р(х) = h(х),(2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).
2. Все остальные в это время решают уравнение
Решение. ;
100(2х+5)2 = 1296 – 216х + 9х2;
9х2 – 416х + 796 = 0;
х1 = 2, х2 =
Проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.
х₂ = - посторонний корень.
Ответ: х = 2
Вопросы к классу.
Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?
III. Объяснение нового материала.
Теоремы равносильности уравнений.
«Спокойные теоремы» гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.
«Беспокойные теоремы» работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.
«Спокойные теоремы»:
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение аf(x) = аg(x) (где а > 0, a≠1) равносильно уравнению f(x) = g(х).
Определение 3. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).
«Беспокойные теоремы»:
Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)
б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.
Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнении f(x))n=(g(x))n равносильное данному в его ОДЗ.
Теорема 6. Пусть а>0 и a≠1, X — решение системы неравенств f(х) > 0, g(х) > 0 , тогда уравнение log a f(x) = log a g(x) равносильно на множестве X уравнению f(x) = g(х)
Краткая запись теорем 4 – 6.
4. f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0 и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.
5. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))n=(g(x))n , где f(x)≥0, g(x)≥0 и n=2k (чётное число).
6. loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(х), где f(х) > О, g(х) > 0 и а>0 и a≠1
IV. Первичное усвоение материала.
Пример 1.
Решить уравнение ln (х + 4) + ln (2х + 3) = ln (1 - 2х).
Решение.
Первый этап. Воспользуемся правилом «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением
ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде: ln (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х).
Потенцируя, получаем:
(х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х)
2х2 + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х;
2х2 + 13х + 11 = 0
х₁ = -1
х2 = -5,5
Второй этап. В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.
Третий этап. Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе решения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств
Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.
Ответ: -1.
Пример 2.
Решить уравнение:
Решение.
Уравнение равносильно системе:
Ответ:
Пример 3.
Решить уравнение: .
Решение.
Перепишем уравнение в виде 1+= х. Рассмотрим функцию (х)=1+. Тогда полученное уравнение имеет вид . Для решения уравнений такого вида применим теорему
Если (х) – монотонно возрастающая функция, то уравнения и (х)=х равносильны. Введенная функция монотонно возрастает, поэтому перейдем к равносильному уравнению (х)=х или 1+=х, решение которого найти уже просто
Ответ: .
2-й урок
V. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами.
Пример 1.
Решить уравнение , (а – параметр).
Решение.
Перепишем уравнение в виде: и рассмотрим его как квадратное относительно . Находим D = 4а-3. Уравнение имеет решение, если а3/4. Имеем:
Видим, что первое уравнение совокупности имеет решение тогда и только тогда, когда 1-, т.е. при а1. Решим оба уравнения совокупности, получим 3/4а1:
,
Таким образом приходим к ответу:
при 3/4а1 уравнение имеет два корня ,;
при а>1 уравнение имеет один корень: ;
при а< решений нет.
VI. Иррациональные неравенства.
Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь как правило, исключена возможность проверки и преобразования должны быть равносильными.
Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем иррациональных неравенств..
Иррациональные неравенства часто сводятся к неравенствам вида или . Неравенства первого вида удобно решать, переходя к равносильной системе трех неравенств: Запомним правило: нельзя неравенство возводить в четную степень, если хотя бы одна из его частей отрицательна, поскольку при этом знак неравенства может измениться.
Неравенства второго типа решают, переходя к совокупности двух систем неравенств
Пример 5. Решим неравенство:
Так как квадратные корни можно извлекать лишь из неотрицательных чисел, то должно выполняться условие: х2-55х+2500. Решением этого неравенства является множество х ϵ (-;5][50; ). Кроме этого поскольку 0, имеем х-140, т.е. хϵ[14; ). Совмещаем полученные множества, получим множество [50; ). Возведем обе части данного неравенства в квадрат (так они существуют и неотрицательны на [50 ; )): х2-55х+250<(х-14)2. Решим систему неравенств:
Откуда .
Ответ: .
VII. § 55, 7 (б); 8 (а).
VIII. Самостоятельная работа
1 вариант:
(решите уравнения)
1.
(решите неравенства)
2.
2 вариант:
(решите уравнения)
1.
(решите неравенства)
2.
IX. Контрольные вопросы
1. Понятие равносильных уравнений.
2. Определение уравнения-следствия.
3. Три этапа решения уравнения.
4. Теоремы о равносильности уравнений (фронтальный опрос).
5. Преобразование данного уравнения в уравнение-следствие.
6. Расширение области определения уравнения.
7. Причины потери корней при решении уравнений.
X. Задание на дом
§ 55, № 8 (б); 9 (а, г); 10 (в, г); 11 (б); 12 (а, в).
XI. Подведение итогов уроков
Автор(ы): Курлаева М. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
