Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: Алгебра и начала анализа
Класс: 11
УМК:
1. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
Уровень обучения: профильный
Тема: Доказательство неравенств
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 4 часа
Место урока в системе уроков по теме: 1 урок
Цель: повторить и обобщить методы доказательства неравенств; готовить учащихся к решению задач ЕГЭ.
Задачи:
Обучающие
Изучить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел, обобщить и систематизировать методы доказательства неравенств, учить применять полученные знания при решении заданий ЕГЭ.
Развивающие
Развивать внимание, память, познавательный интерес к предмету, умение рассуждать и аргументировать свои действия.
Воспитательные
Воспитывать дисциплину, терпение, внимание при решении сложных задач, уважение к учителю и одноклассникам.
Планируемые результаты:
Учащиеся должны знать методы доказательства неравенств, уметь применять свойства неравенств, доказывать неравенства; точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, использовать различные языки математики (словесный, символический), свободно переходить с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Проверить готовность обучающихся к уроку. Сообщение темы и цели урока. Обеспечение мотивации к учебной деятельности.
2. Проверка домашнего задания
В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить неравенство
Один из учеников выходит к доске, записывает решение. Учитель вместе с классом разбирает затруднения.
Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится:
Воспользуемся подстановкой:
Итак, решением неравенства является промежуток:
переходя к обратной подстановке, получаем:
Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательно получаем ответ:
3. Актуализация теоретических знаний
Определение: Говорят, что действительное число a больше (меньше) действительного числа b, если их разность a-b – положительное (отрицательное) число.
Работа с классом . Учитель раздает карточки с записанными свойствами неравенств каждому ученику. Учащиеся на карточках записывают примеры, иллюстрирующие каждое свойство.
Свойства:
1) 5>4 и 4> 3, то 5>3; Если a>b и b>c, то a>c (свойство транзитивности)
2) 12>10, 12+3>10+3; Если a>b , то a+c>b+c.
3) 46>30 и 2 >0, то 92>60; Если a>b и m>0, то am>bm.
4) 45>6 и -4<0, то -180<-24; Если a>b и m<0, то am<bm.
5) 6>5и 8>4, то 14>9; Если a>b и c>d, то a+c>b+d.
6) 6>5и 8>4, то 48>20; Если a>b и c>d, то ac>bd, a,b,c,d>0.
7) 6>5, то 36>25; Если a>b , то an>bn ,a,b>0
4. Изучение нового материала
Этап открытия новых знаний . Учитель объясняет методы доказательства неравенств.
Доказательство неравенств на основании определения
Суть этого метода заключается в следующем: для того чтобы установить справедливость неравенства F(x,y,z)>S(x,y,z) составляют разность F(x,y,z)-S(x,y,z) и доказывают, что она положительна. Применяя этот метод, часто выделяют квадрат, куб суммы или разности, неполный квадрат суммы или разности. Это помогает определить знак разности.
Метод математической индукции
При доказательстве неравенств, в которые входят натуральные числа, часто прибегают к методу математической индукции. Метод состоит в следующем:
1) проверяем истинность теоремы для n=1;
2)допускаем, что теорема верна для некоторого n=k, и исходя из этого допущения доказываем истинность теоремы для n=k+1;
3) на основании первых двух шагов и принципа математической индукции заключаем, что теорема верна для любого n.(самостоятельное изучение)
Графический метод
Доказательство неравенств графическим методом заключается в следующем: если доказываем неравенство f(x)>g(x)(f(x)<g(x)), то нужно:
1) построить графики функций y=f(x) и y=g(x);
2)если график функции y=f(x) расположен выше (ниже) графика функции y=g(x), то доказываемое неравенство верно.
Классические неравенства:
(неравенство Коши)
5. Первичное закрепление знаний
Класс разбивается на группы. Каждой группе предлагается доказать неравенство. Переходят к обсуждению решений. У доски от каждой группы ученики предлагают свои решения. Класс принимает участие по необходимости: задают вопросы, записывают решения.
Группа 1:
Решение: +
+
____________
Группа 2 (метод математической индукции)
Доказать неравенство
Доказательство:
1) при n=2 неравенство верно:
2)Пусть неравенство верно для n=k т.е. (*)
Докажем, что неравенство верно при n=k+1, т.е. . Умножим обе части неравенства (*) на получим
3) Из п1.и п.2 делаем вывод, что неравенство верно для любого n.
Группа 3. Доказать неравенство (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin2x (с помощью определения)
Доказательство:
Рассмотрим разность (x+y)(x+y+2cosx)+2 – 2sin2x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos2x=(x+y)(x+y+2cosx)+ cos2x +cos2x= (x+y)2+2(x+y)cosx+ cos2x +cos2x=((x+y)+cosx)2+ cos2x 0.
Группа 4
cosx ,x0(графический метод)
Доказательство:
Построим в одной системе координат графики функций y = cos x и y = .
Из графика видно, что при x0 график функции y = cos x лежит выше графика функции y= .
6. Закрепление изученного материала (работа с учебником)
№31.8(а)
7. Подведение итогов урока
На уроке были рассмотрены различные способы доказательства неравенств. Эти способы будут вам полезны при решении заданий с развернутым ответом ЕГЭ.
С какими трудностями Вы столкнулись на уроке? Все ваши затруднения мы будем рассматривать на последующих занятиях.
8. Домашнее задание
№31.8(б), №31.10(а), №31.3 (а).
Автор(ы): Ампилогова Ю. П.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.doc
