Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
План-конспект урока алгебры и начал анализа в 11 классе
Учитель МОАУ «Гимназия №6» Сасыкова Е.Ю.
УМК А. Г. Мордкович, П. В. Семенов “Алгебра и начала анализа 11 (профильный уровень)”, Москва “Мнемозина”, 2012.
Тема: "Уравнения высших степеней".
Урок №3 (заключительный)
Тип урока: Урок повторения и систематизации знаний
Цель урока: Повторить изученный материал и систематизировать знания обучающихся по изучаемой теме.
Задачи урока:
Образовательная:: обобщить, углубить знания обучающихся по изучаемой теме, закрепить умение узнавать и применять изученные приемы решения уравнений высших степеней.
Развивающая:
развивать умение слушать, анализировать, сравнивать, классифицировать уравнения по предложенным типам;
развивать логическое мышления, внимание и умение работать в проблемной ситуации;
развивать познавательную активность.
Воспитательная:
Воспитывать интерес и любовь к предмету через содержание учебного материала, умение работать в коллективе, паре, взаимопомощи, культуры общения;
воспитывать в учащихся навыки самоорганизации, самооценки, самопроверки и взаимопроверки;
Планируемые результаты: Обучающиеся могут классифицировать уравнения высших степеней, знают все методы их решения и могут решать их применяя рациональные методы .
Дидактическое обеспечение урока: 1) листы с заданиями для классификации уравнений высших степеней (приложение 1);
2) Карточки с заданиями для групповой работы.(приложение 2)
Ход урока:
I.Организационный момент
Учитель приветствует обучающихся, объявляет тему урока.
Учитель: Ребята, на сегодняшнем уроке мы повторим виды уравнений высших степеней и методы их решения. Далее он обращает внимание обучающихся на эпиграф, написанный на доске:
“Под методом же я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное и без излишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, это способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что доступно”.
Декарт
Вопрос к классу: Как вы понимаете слова Декарта и как они связаны с темой нашего урока? Учитель выслушивает обучающихся и делает вывод: При решении уравнений высших степеней важно верно выбрать метод решения.
Далее обучающиеся совместно с учителем формулируют цель урока: Повторить виды уравнений высших степеней и систематизировать знания о методах их решения, отработать навыки решения уравнений рациональными методами.
II .Актуализация опорных знаний. Фронтальная работа с классом.
1.Устные ответы на вопросы учителя.
- Какие уравнения называются уравнениями высших степеней? Назовите виды таких уравнений.
- Назовите общие методы решения уравнений высших степеней.
2.Коллективная работа.
Учитель предлагает обучающимся составить схему (кластер) методов решения уравнений высших степеней. К доске приглашается один ученик, который представляет свою схему и классификацию. Учитель показывает свою схему, заранее заготовленную на обратной стороне доски, проверяется умение обучающихся по виду определять способы решения уравнений, называть аналитические приёмы, с помощью которых можно решить уравнения высших степеней названным способом, называют достоинства и недостатки каждого способа.
Разложение многочлена на множители
Метод замены переменной
Функционально-графический метод
Способом группировки
Биквадратные уравнения
Теорема о монотонности функций
По формулам сокращенного умножения
Возвратные уравнения
Использование производной функции
По теореме Безу
Уравнения, в которых выделяются одинаковые многочлены.
Составление уравнения касательной
Схема Горнера
Введение неопределенных коэффициентов
Деление многочлена на многочлен
3.Самостоятельная работа.
Провести классификацию уравнений по методам решений.
Обучающиеся работают с предложенными уравнениями на специальных листах
(см приложение1)
1) х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0; (разложение на множители)
2) 9х4 – 9х3 + 10х2 – 3х + 1 = 0; (введение новой переменной, возвратное уравнение)
3) х5 + 3х3 = 11 – х; (функционально-графический)
4) (х2 + 3х + 2)(х2 + 9х + 20) = 4; (введение новой переменной)
5) х3 – 5х2 +3х +1 = 0; (разложение на множители)
6) 2х4 – 5х3 + 5х – 2 = 0; (разложение на множители)
7) х7 + 3х + 2 = 0; (функционально-графический)
8) 4х3 – 10х2 + 14х – 5 = 0; (введение новой переменной)
9) х4 – 8х + 63 =0; (разложение на множители, функционально-графический, применение производной функции)
10) х6 + х2 – 8х + 6 = 0. (функционально-графический с использованием уравнения касательной)
4.Взаимопроверка в парах.
Оценивание:“5” – 9-10 уравнений; “4” – 7-8 уравнений; “3” – 5-6 уравнений; “2” – меньше 5 уравнений.
III. Проверка домашнего задания. Три ученика заранее готовят на доске решения уравнений из домашнего задания.
1.№3.7.(в) Ответ:-1, -3,-5;
2.№3.9(б) Ответ: 1,1/2,2/3:
3.№3.16(Б) Ответ: 27;
Они называют вид уравнения, обосновывают рациональность выбранного метода, комментируют ход решения и объявляют ответ. Остальные обучающиеся слушают объяснения, проверяют решение, задают вопросы.
IV. Закрепление знаний. Работа в группах .(см приложение 2)
Класс делится на 5 групп. Каждая группа получает задание выбрать наиболее рациональный способ и решить уравнение.
Задания для групп:
№1
х3-9х+х2–9=0
Способ решения данного уравнения - разложение на множители способом группировки.
(х3+х2)-(9х+9)=0
х2(х+1)-9(х+1)=0
(х+1)(х2-9)=0
(х+1)(х-3)(х+3)=0 Ответ: -3; -1; 3.
№ 2. х3-6х2+11х-6=0
Способ решения данного уравнения – разложение на множители с помощью теоремы Безу.
Один корень найдём подбором. Их следует искать среди делителей свободного члена данного многочлена ±1, ±2, ±3, ±6. Но т.к. сумма коэффициентов многочлена равна 0, то его корнем является 1.По теореме Безу (остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (х-а)равен Р(а). Если а- корень многочлена Р(х), то многочлен делится на (х-а)без остатка). Разделим многочлен 3 степени на двучлен (х-1).
х3-6х2+11х-6=(х-1)(х2-5х+6)
(х-1)(х2-5х+6)=0
Ответ: 1, 2, 3.
№ 3. х4 +5х3+6х2+5х+1=0
(Возвратное или симметричное уравнение – это уравнение, в котором коэффициенты, равностоящие от концов равны.)
Способ решения данного уравнения – деление правой и левой частей уравнения на х2.
Вопрос - почему это можно сделать? Не происходит ли потеря корня?
х2+5х+6++ = 0
(х2 +)+5(х+) = 0
х+=у (ОДЗ для вспомогательной переменной?)
х2 +=(х+)2-2 = у2-2
у2-2+5у+6=0
у1=-4; у2=-1
х+=-4, х=-2
х +=-1, корней нет.
Ответ: -2 -; -2+.
№ 4. х5+6х4+11х3+11х2+6х+1=0
Возвратное уравнение нечётной степени имеет корень х=-1 (применим теорему Безу), после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения на двучлен (х+1) приводится к возвратному уравнению чётной степени. Решение можно заранее подготовить (на доске, показать через проектор) и в целях экономии времени не решать.
(х+1)(х4+5х3+6х2+5х+1)=0 (см. предыдущий пример)
№ 5. (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40
Уравнение сводится к квадратному, если сумма чисел любых двух скобок равна сумме чисел двух других скобок.
(х2+6х+5)(х2+6х+8)=40
ух2+6х
(у+5)(у+8)=40
у2+13у=0
х2+6х=0 х2+6х=-13, корней нет, т.к. D<0
Ответ: -6, 0.
После проделанной работы представитель из каждой группы объясняет идею выбранного метода и комментирует решение у доски. Остальные обучающиеся записывают решение в тетрадях. Задают вопросы.
IV. Домашнее задание
П. 3. №№ 3.20(б); 3.26(а); 3.29(в,г); 3.32(в,г).
Дополнительное задание: найти в различных источниках приемы решения уравнений высших степеней, о которых не упоминалось на уроке, привести примеры.
V. Итог урока
1. Оценка работы отдельных учащихся на уроке.
2. Рефлексия:
– Какой метод для вас оказался самым легким?
– Какой метод для вас оказался самым трудным?
– Какие приемы помогают вам в решении уравнений высших степеней?
– Как вы оцениваете работу класса? Как вы оцениваете собственную работу?
Приложение
Приложение 1.
Задание для самостоятельной работы. Провести классификацию уравнений
по методам решения.
1) х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0;
2) 9х4 – 9х3 + 10х2 – 3х + 1 = 0;
3) х5 + 3х3 = 11 – х;
4) (х2 + 3х + 2)(х2 + 9х + 20) = 4;
5) х3 – 5х2 +3х +1 = 0;
6) 2х4 – 5х3 + 5х – 2 = 0;
7) х7 + 3х + 2 = 0;
8) 4х3 – 10х2 + 14х – 5 = 0;
9) х4 – 8х + 63 =0;
10) х6 + х2 – 8х + 6 = 0.
Приложение 2.
Задания для групповой работы
Карточка №1
х3-9х+х2–9=0
Карточка №2
х3-6х2+11х-6=0
Карточка№3
х4 +5х3+6х2+5х+1=0
Карточка№4
х5+6х4+11х3+11х2+6х+1=0
Карточка №5
(х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40
Автор(ы): Сасыкова Е. Ю.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
