Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Алгебра
11 класс
Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича, 2015 год
Уровень обучения: профильный
Тема урока: «Степенные функции, их свойства и графики»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: 1
Цель урока: формирование понятия степенной функции с рациональным показателем.
Задачи урока:
Образовательные: изучить свойства степенной функции с рациональным показателем; выявить особенности графиков степенных функций.
Развивающие: развивать мыслительную деятельность учащихся, умение анализировать изученный материал, применять знания по теме урока при решении заданий из КИМов ЕГЭ; совершенствовать навыки построения и чтения графиков функций.
Воспитательные: воспитывать аккуратность, точность при выполнении заданий, навыки самостоятельной работы с учебником.
Планируемые результаты:
Учащиеся должны знать:
Свойства степенной функции в зависимости от показателя.
Учащиеся должны уметь:
Называть свойства степенной функции в зависимости от показателя.
Строить графики степенных функций с рациональным показателем.
Выполнять преобразования графиков.
Четко, ясно излагать свои мысли, делать выводы.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран.
Дидактическое обеспечение урока: презентация по теме урока, карточки для работы в парах.
Интернет-ресурсы:
http://uchitelya.com/algebra/15738-prezentaciya-stepennye-funkcii-ih-svoystva-i-grafiki-11-klass.html
http://festival.1september.ru/articles/612881/
Содержание урока
1. Организационный момент: сообщить тему и цель урока, проверить готовность учащихся к работе на уроке (слайд 1).
2. Проверка домашнего задания: (несколько учащихся заранее записывают решения на доске)
№ 8.17
а) (()-1/2(251/2ˑ – 81/3ˑ ):1/491/2 = ( – ): = ( – )ˑ7 = ˑ 7 =3
б) = = = = -0,1
№ 8.29
а) = б) =
в) = г) =
3. Актуализация знаний учащихся (с помощью презентации: слайды 2,3,4):
- Для того, чтобы успешно усвоить новую тему вспомним определения и свойства основных функций.
- Вспомним графики функций у=хn, где n=0,1,2,3.
- Назовите свойства данных функций.
- Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.
- Назовите свойства степени с натуральным показателем.
4. Изучение темы урока: (с помощью презентации: слайды 5, 6, 7, 8)
ПЛАН:
I. Записать определение степенной функции.
Определение: Степенными функциями называют функции вида у=хr, где r – любое рациональное число.
II. Построить график функции у=хm/n, где m/n>1.
III. Записать свойства данной функции.
1. D(f) = [0;+∞).
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на [0;+∞).
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Нет наибольшего значения, наименьшее значение равно 0.
6. Непрерывна.
7. E(f) = [0;+∞).
8. Выпукла вниз.
IV. Построить график функции у=хm/n, где 0< m/n<1 и записать свойства.
Пункт IV учащиеся выполняют самостоятельно с помощью учебника §9.
1. 1. D(f) = [0;+∞).
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на [0;+∞).
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Нет наибольшего значения, наименьшее значение равно 0.
6. Непрерывна.
7. E(f) = [0;+∞).
8. Выпукла вверх.
5. Закрепление темы урока:
№ 9.1(а ,б)
№ 9.3(а, в)
а) f(4)=32 в) f(0)=0
№ 9.7 – выполняют самостоятельно с последующей проверкой
а) унаим = 0 унаиб = 1
б) унаим = 1 унаиб не существует
в) унаим = не существует унаиб не существует
г) унаим = не существует унаиб = 2
№ 9.10(а ,б)
6. Самостоятельная работа по подготовке к ЕГЭ с последующей проверкой: (учащиеся получают карточки для работы в парах)
1 вариант
1) Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: , где — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь м2, а излучаемая ею мощность P не менее Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.
Ответ: 10000
2) Найдите значение выражения при .
Ответ: 49
2 вариант
1) Для определения эффективной температуры звезд используется закон Стефана- Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела Р, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади её поверхности и четвертой степени температуры: , где - постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности , а излучаемая ею мощность Р не менее Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ приведите в градусах Кельвина.
Ответ: 6000
2) Найдите значение выражения
Ответ: 7
7. Запись домашнего задания: §9 (учить опр., свойства), № 9.11(в, г), № 9.14(а, в)
8. Подведение итогов урока и рефлексия:
- Что нового узнали на уроке?
- Какие умения и навыки отрабатывали?
- Что понравилось (не понравилось) на уроке? Почему?
Автор(ы): Николаева Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - урок 1.doc Алгебра
11 класс
Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича, 2015 год
Уровень обучения: профильный
Тема урока: «Степенные функции, их свойства и графики»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: 2
Цель урока: обобщение понятия степенной функции с рациональным показателем.
Задачи урока:
Образовательные: изучить свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем, построить график данной функции; научить учащихся находить производную степенной функции.
Развивающие: развивать умения применять полученные знания на практике; совершенствовать навыки построения и чтения графиков функций; формировать навыки самостоятельной работы.
Воспитательные: воспитывать аккуратность, точность, внимательность при выполнении заданий, навыки контроля и самоконтроля.
Планируемые результаты:
Учащиеся должны знать:
Свойства степенной функции в зависимости от показателя.
Учащиеся должны уметь:
Называть свойства степенной функции в зависимости от показателя.
Строить графики степенных функций с любым рациональным показателем и выполнять их преобразования.
Находить производную степенной функции.
Четко, ясно излагать свои мысли, делать выводы.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, документ-камера.
Дидактическое обеспечение урока: презентация по теме урока, многоуровневые карточки для самостоятельной работы.
Интернет – ресурсы:
http://uchitelya.com/algebra/15738-prezentaciya-stepennye-funkcii-ih-svoystva-i-grafiki-11-klass.html
http://festival.1september.ru/articles/612881/
Содержание урока
1. Организационный момент: сообщить тему и цель урока, проверить готовность учащихся к работе на уроке (слайд 1).
2. Проверка домашнего задания (с помощью документ-камеры):
№ 9.11(в, г)
№ 9.14(а, в)
3. Теоретический опрос (с помощью презентации: слайд 2):
Определение степени с любым рациональным показателем.
Определение степенной функции.
Учащиеся отвечают на поставленные вопросы.
4. Изучение новой темы (с помощью презентации: слайд 3):
- Нам осталось рассмотреть степенную функцию вида у=х-m/n.
Свойства функции у=х-m/n
1. D(f) = (0;+∞).
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Убывает на (0;+∞).
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Нет наибольшего значения, нет наименьшего значения.
6. Непрерывна.
7. E(f) = (0;+∞).
8. Выпукла вниз.
- График представлен в учебнике, посмотрите на рис.22:
Учащиеся дают краткую характеристику представленного графика.
- Изучим теорему о дифференцируемости степенной функции (слайд 4):
Теорема: Если х>0 и r – рациональное число, то производная степенной функции у=хr вычисляется по формуле: (хr)´= rхr-1
- Рассмотрим примеры: (слайды 5, 6, 7, 8). Учащиеся записывают решение примеров в тетради.
Пример №1: Найдите производные функций:
Пример № 2:
Исследуйте функцию
на монотонность и экстремумы и постройте её график.
Решение:
1. Найдём производную функции:
2. Функция существует при х ≥ 0, производная существует при х>0. Поэтому критических точек у функции нет. Стационарную точку найдём из условия или , откуда х=1.
3. Очевидно, что при х € (0;1], значение у'≤0 и функция у(х) убывает на этом промежутке. При х € [1;+∞) значение у'≥0 и функция у(х) возрастает. В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум
4. График функции у(х) пересекает ось абсцисс в точке, которая является решением уравнения или , откуда
х=0 или х=3.
5. Построим график функции:
5. Закрепление темы урока:
№ 9.15(г)
№ 9.33 (а)
g´(x) = 3x2 - 3·½·x -1/2 = 3x2 – 1,5x -1/2
g´(1) = 3 – 1,5 = 1,5
Ответ: 1,5
6. Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой: учащиеся самостоятельно выбирают уровень сложности.
Карточки с заданиями:
1 вариант
Уровень 1
1) В одной системе координат постройте графики функций у=х3 и у=х1/3.
2) С помощью графиков решите уравнение х3 = х1/3.
3) С помощью графиков решите неравенство х3< х1/3.
Уровень 2
1) Изобразите схематически график функции у = (х+2)3/5
2) Найдите область определения и область значений функции.
3) Определите возрастает или убывает функция.
2 вариант
Уровень 1
1) В одной системе координат постройте графики функций у=х4 и у=х -1/4.
2) С помощью графиков решите уравнение х4 = х -1/4.
3) С помощью графиков решите неравенство х4< х -1/4.
Уровень 2
1) Изобразите схематически график функции у = (х-1)-2/3
2) Найдите область определения и область значений функции.
3) Определите возрастает или убывает функция.
7. Запись домашнего задания: §9 (учить опр., свойства), № 9.15 (б), № 9.33(б, в)
8. Подведение итогов урока и рефлексия:
- Что нового узнали на уроке?
- Чему научились?
- В результате изучения новой темы вы научились строить график степенной функции, читать по графику свойства функции, применять эти свойства при решении уравнений и неравенств. Цель урока достигнута. На следующий урок проведем зачет по проверке ваших теоретических и практических навыков по изучаемой теме.
Автор(ы): Николаева Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - урок 2.doc Алгебра
11 класс
Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича, 2015 год
Уровень обучения: профильный
Тема урока: «Степенные функции, их свойства и графики»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: 3
Цель урока: систематизация, обобщение и проверка знаний, умений и навыков учащихся по теме: «Степенные функции, их свойства и графики».
Задачи урока:
Образовательные: углубить знания по теме урока; формировать у учащихся умения применять производную для исследования степенных функций; совершенствовать навыки построения графиков степенных функций.
Развивающие: развивать умение применять полученные знания в новых условиях; умение рассуждать, анализировать, обобщать, делать выводы; вовлечь учащихся в активную практическую деятельность.
Воспитательные: способствовать мобилизации усилий на безошибочное выполнение заданий и экономное расходование времени, воспитывать навыки контроля и самоконтроля и взаимоконтроля.
Планируемые результаты:
Учащиеся должны знать:
Свойства степенной функции в зависимости от показателя.
Теорему о производной степенной функции.
Учащиеся должны уметь:
Называть свойства степенной функции в зависимости от показателя.
Строить графики степенных функций с любым рациональным показателем и выполнять их преобразования.
Применять производную степенной функции для исследования на монотонность и экстремумы, нахождения наибольших и наименьших значений функций.
Четко, ясно излагать свои мысли, анализировать, обобщать, делать выводы.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран.
Дидактическое обеспечение урока: презентация по теме урока, карточки для проверки теоретического материала, сборники для самостоятельных работ, бланки для выставления оценок по ходу урока.
Интернет – ресурсы:
https://yadi.sk/d/peGRiVMZdVbgp – сборник самостоятельных работ.
Содержание урока:
1. Организационный момент: сообщить тему и цель урока (слайд 1), проверить готовность учащихся к работе на уроке, раздать бланки для выставления оценок и объяснить, как ими пользоваться в процессе урока.
2. Взаимопроверка домашнего задания: (несколько учащихся заранее записывают решения на доске). После проверки домашнего задания учащиеся выставляют полученные оценки в бланки.
№ 9.15 (б)
№ 9.33 (б, в)
№ 9.33(б, в)
б) (g(x))´= ()´ = ˑ 3 ˑ(3x – 1)-2/3 = (3x – 1)-2/3
(g(´ = (3ˑ - 1)-2/3 = 1
в) (g(x))´= (x-1 + x-2)´ = -x-2 + (-2)ˑ x-3 = -( + )
(g(´ = - (1+2) = -3
3. Актуализация знаний учащихся с помощью презентации (слайды 2, 3, 4, 5):
Учащимся предлагается ответить на контрольные вопросы:
1. Определение степенной функции у = хr.
2. Свойства функции для:
3. Производная степенной функции.
4. Задание: по графикам функций составьте системы уравнений:
Один из возможных вариантов ответа на задание № 4:
1) 2) 3)
4. Самостоятельная работа по проверке теоретических знаний по теме урока с последующей самопроверкой с помощью презентации (слайды 6, 7, 8) и самооценкой. Оценки за самостоятельную работу учащиеся выставляют в бланки.
Учащиеся 1 варианта работают по карточкам для проверки теории, учащиеся 2 варианта решают задания стандартного типа из учебника, затем наоборот.
5. Выполнение заданий стандартного типа:
№ 9.19(а)
№ 9.27
6. Закрепление темы урока (с помощью презентации: слайд 9):
Пример № 3: Составьте уравнение касательной к графику функции
в точке а = 1.
Решение:
1. Найдём значение функции:
2. Найдём производную функции:
3. Найдем значение производной в точке а = 1:
4. Подставим значения f(a), f'(a) и а в уравнение касательной и получим:
7. Самостоятельная работа: сборник самостоятельных работ «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс», Л.А. Александрова, С-10, с.24, 25.
После выполнения самостоятельной работы учащиеся сдают тетради на проверку учителю. При выставлении оценок за урок необходимо учесть оценки в бланках, полученные учащимися по ходу урока за домашнее задание и самостоятельную работу по проверке теории.
Начало формы
8. Запись домашнего задания: § 9 (повторить свойства степенных функций), № 9.28, № 9.39(а, б)
9. Подведение итогов урока и рефлексия:
- Скажите, чему вы научились, изучив тему: «Степенные функции, их свойства и графики»?
- Что особенно понравилось (не понравилось) на уроке? Почему?
Автор(ы): Николаева Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - урок 3.docАвтор(ы): Николаева Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку 1.pptАвтор(ы): Николаева Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку 2.pptАвтор(ы): Николаева Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку 3.pptАвтор(ы): Николаева Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - карточки урок 1.docxАвтор(ы): Николаева Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Карточки урок 2.docxАвтор(ы): Николаева Л. А.
Скачать: Алгебра 11кл - карточки урок 3.doc
