Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

16-18 Степенные функции. Свойства. Графики.

Текст урока

  • урок 1

     Алгебра
    11 класс
    Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича, 2015 год
    Уровень обучения: профильный
    Тема урока: «Степенные функции, их свойства и графики»
    Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
    Место урока в системе уроков по теме: 1
    Цель урока: формирование понятия степенной функции с рациональным показателем.
    Задачи урока:
    Образовательные: изучить свойства степенной функции с рациональным показателем; выявить особенности графиков степенных функций.
    Развивающие: развивать мыслительную деятельность учащихся, умение анализировать изученный материал, применять знания по теме урока при решении заданий из КИМов ЕГЭ;  совершенствовать навыки построения и чтения графиков  функций.
    Воспитательные: воспитывать аккуратность, точность при выполнении заданий, навыки самостоятельной работы с учебником.
    Планируемые результаты: 
    Учащиеся должны знать:
    Свойства степенной функции в зависимости от показателя.
    Учащиеся должны уметь:
    Называть свойства степенной функции в зависимости от показателя.
    Строить графики степенных функций с рациональным показателем.
    Выполнять преобразования графиков.
    Четко, ясно излагать свои мысли, делать выводы.
    Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран.
    Дидактическое обеспечение урока: презентация по теме урока, карточки для работы в парах.
    Интернет-ресурсы: 
     http://uchitelya.com/algebra/15738-prezentaciya-stepennye-funkcii-ih-svoystva-i-grafiki-11-klass.html
    http://festival.1september.ru/articles/612881/
    
    Содержание урока
    
    1. Организационный момент: сообщить тему и цель урока, проверить готовность учащихся к работе на уроке (слайд 1).
    2. Проверка домашнего задания: (несколько учащихся заранее записывают решения на доске)
    
    № 8.17
    
    а) (()-1/2(251/2ˑ – 81/3ˑ ):1/491/2 = ( –  ): = ( – )ˑ7 = ˑ 7 =3
    б) =  =  =  = -0,1
    
    
    
    
    № 8.29
    а)  =                           б)  = 
    в)  =                             г)  = 
    
    3. Актуализация знаний учащихся (с помощью презентации: слайды 2,3,4):
    - Для того, чтобы успешно усвоить новую тему вспомним определения и свойства основных функций. 
    - Вспомним графики функций у=хn, где n=0,1,2,3.
    
    
    
    
    - Назовите свойства данных функций.
    - Сформулируйте определение степени с натуральным показателем.
    - Назовите свойства степени с натуральным показателем.
    4.   Изучение темы урока: (с помощью презентации: слайды 5, 6, 7, 8)
          ПЛАН:
    I. Записать определение степенной функции.
                Определение: Степенными функциями называют функции вида у=хr, где r – любое  рациональное число.  
    II. Построить график функции у=хm/n, где m/n>1.
    
    III. Записать свойства данной функции.
    1. D(f) = [0;+∞).
    2. Не является ни четной, ни нечетной.
    3. Возрастает на [0;+∞).
    4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
    5. Нет наибольшего значения, наименьшее значение равно 0.
    6. Непрерывна.
    7. E(f) = [0;+∞).
    8. Выпукла вниз.
    IV. Построить график функции у=хm/n, где  0< m/n<1 и записать свойства.
    Пункт IV учащиеся выполняют самостоятельно с помощью учебника §9.     
    
    
    1. 1. D(f) = [0;+∞).
    2. Не является ни четной, ни нечетной.
    3. Возрастает на [0;+∞).
    4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
    5. Нет наибольшего значения, наименьшее значение равно 0.
    6. Непрерывна.
    7. E(f) = [0;+∞).
    8. Выпукла вверх.
    5. Закрепление темы урока:
    № 9.1(а ,б)
    
    
    № 9.3(а, в)
    а) f(4)=32       в) f(0)=0
    
    № 9.7 – выполняют самостоятельно с последующей проверкой
    а) унаим  = 0                                     унаиб = 1
    б) унаим  = 1                                     унаиб  не существует
    в) унаим  = не существует               унаиб  не существует
    г) унаим  = не существует               унаиб  = 2             
    
    
    
    
    
    
    № 9.10(а ,б)
    
    
    
    6. Самостоятельная работа по подготовке к ЕГЭ с последующей проверкой: (учащиеся получают карточки для работы в парах)
    
    
    
    
    
     
    1 вариант
    1) Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: , где  — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь м2, а излучаемая ею мощность P не менее  Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.
    Ответ: 10000
    2) Найдите значение выражения  при .
    Ответ: 49
    
    2 вариант
    1) Для определения эффективной температуры звезд используется закон Стефана- Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела Р,  измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади её поверхности и четвертой степени температуры: , где   - постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T  - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности , а излучаемая ею мощность Р  не менее Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ приведите в градусах Кельвина.
    Ответ: 6000
    2) Найдите значение выражения 
    Ответ: 7
    
    
    7. Запись домашнего задания: §9 (учить опр., свойства), № 9.11(в, г), № 9.14(а, в)
    8. Подведение итогов урока и рефлексия:
    - Что нового узнали на уроке?
    - Какие умения и навыки отрабатывали?
    - Что понравилось (не понравилось) на уроке? Почему?
     

    Автор(ы): Николаева Л. А.

    Скачать: Алгебра 11кл - урок 1.doc
  • урок 2

     Алгебра
    11 класс
    Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича, 2015 год
    Уровень обучения: профильный
    Тема урока: «Степенные функции, их свойства и графики»
    Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
    Место урока в системе уроков по теме: 2
    Цель урока: обобщение понятия степенной функции с рациональным показателем.
    Задачи урока:
    Образовательные: изучить свойства степенной функции с отрицательным рациональным показателем, построить график данной функции; научить учащихся находить производную степенной функции.
    Развивающие: развивать умения применять полученные знания на практике; совершенствовать навыки построения и чтения графиков функций; формировать навыки самостоятельной работы.
    Воспитательные: воспитывать аккуратность, точность, внимательность при выполнении заданий, навыки контроля и самоконтроля.
    Планируемые результаты: 
    Учащиеся должны знать:
    Свойства степенной функции в зависимости от показателя.
    Учащиеся должны уметь:
    Называть свойства степенной функции в зависимости от показателя.
    Строить графики степенных функций с любым рациональным показателем и выполнять их преобразования.
    Находить производную степенной функции.
    Четко, ясно излагать свои мысли, делать выводы.
    Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, документ-камера.
    Дидактическое обеспечение урока: презентация по теме урока, многоуровневые карточки для самостоятельной работы.
    Интернет – ресурсы:
    http://uchitelya.com/algebra/15738-prezentaciya-stepennye-funkcii-ih-svoystva-i-grafiki-11-klass.html
    http://festival.1september.ru/articles/612881/
    
    Содержание урока
    
    1. Организационный момент: сообщить тему и цель урока, проверить готовность  учащихся к работе на уроке (слайд 1).
    2. Проверка домашнего задания (с помощью документ-камеры):
    № 9.11(в, г) 
    
    
    
    
    
    
    № 9.14(а, в)
    
    
    
    
    
    
    
    3. Теоретический опрос (с помощью презентации: слайд 2):
    Определение степени с любым рациональным показателем.
    Определение степенной функции.
    
              Учащиеся отвечают на поставленные вопросы.
    
    4. Изучение новой темы (с помощью презентации: слайд 3):
     - Нам осталось рассмотреть степенную функцию вида у=х-m/n. 
       Свойства функции у=х-m/n
    1. D(f) = (0;+∞).
    2. Не является ни четной, ни нечетной.
    3. Убывает на (0;+∞).
    4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
    5. Нет наибольшего значения, нет наименьшего значения.
    6. Непрерывна.
    7. E(f) = (0;+∞).
    8. Выпукла вниз.
    
    - График представлен в учебнике, посмотрите на рис.22:
    Учащиеся дают краткую характеристику представленного графика.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    	- Изучим теорему о дифференцируемости степенной функции (слайд 4): 
    Теорема: Если х>0 и r – рациональное число, то производная степенной функции у=хr вычисляется по формуле: (хr)´= rхr-1
    - Рассмотрим примеры: (слайды 5, 6, 7, 8). Учащиеся записывают решение примеров в тетради.
    Пример №1: Найдите производные функций:
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Пример № 2: 
    
    Исследуйте функцию 
    на монотонность и экстремумы и постройте её график.
    Решение:
    1. Найдём производную функции:
    
    
    
    
    
    2. Функция существует при х ≥ 0, производная существует при х>0. Поэтому критических точек у функции нет. Стационарную точку найдём из условия              или                       , откуда х=1. 
    
    3. Очевидно, что при х €  (0;1], значение у'≤0 и функция у(х) убывает на этом промежутке. При х €   [1;+∞) значение у'≥0 и функция у(х) возрастает. В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум 
    
    
    4. График функции у(х) пересекает ось абсцисс в точке, которая является решением уравнения                                          или                                      , откуда
    
    
    х=0 или х=3.
    
    5. Построим график функции:
    
    
    
    5.  Закрепление темы урока:
    № 9.15(г)
    
    
    № 9.33 (а)
    g´(x) = 3x2 - 3·½·x -1/2 = 3x2 – 1,5x -1/2
    g´(1) = 3 – 1,5 = 1,5
    Ответ: 1,5
    
    6. Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой: учащиеся самостоятельно выбирают уровень сложности.
    
    
    
    
    Карточки с заданиями:
    
    1 вариант
    Уровень 1
    
    1) В одной системе координат постройте графики функций у=х3 и у=х1/3.
    2) С помощью графиков решите уравнение х3 = х1/3.
    3) С помощью графиков решите неравенство х3< х1/3.
    
    Уровень 2
    
    1) Изобразите схематически график функции у = (х+2)3/5
    2) Найдите область определения и область значений функции.
    3) Определите возрастает или убывает функция.
    
    
    
    2 вариант
    Уровень 1
    
    1) В одной системе координат постройте графики функций у=х4 и у=х -1/4.
    2) С помощью графиков решите уравнение х4 = х -1/4.
    3) С помощью графиков решите неравенство х4< х -1/4.
    
    Уровень 2
    
    1) Изобразите схематически график функции у = (х-1)-2/3 
    2) Найдите область определения и область значений функции.
    3) Определите возрастает или убывает функция.
    
    
    7.  Запись домашнего задания: §9 (учить опр., свойства), № 9.15 (б), № 9.33(б, в)
    8.  Подведение итогов урока и рефлексия: 
    - Что нового узнали на уроке?
    - Чему научились?
    - В результате изучения новой темы вы научились строить график степенной функции, читать по графику свойства функции, применять эти свойства при решении уравнений и неравенств. Цель урока достигнута. На следующий урок проведем зачет по проверке ваших теоретических и практических навыков по изучаемой теме.
    
     

    Автор(ы): Николаева Л. А.

    Скачать: Алгебра 11кл - урок 2.doc
  • урок 3

     Алгебра
    11 класс
    Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича, 2015 год
    Уровень обучения: профильный
    Тема урока: «Степенные функции, их свойства и графики»
    Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
    Место урока в системе уроков по теме: 3
    Цель урока: систематизация, обобщение и проверка знаний, умений и навыков учащихся по теме: «Степенные функции, их свойства и графики».
    Задачи урока:
    Образовательные: углубить знания по теме урока; формировать у учащихся умения применять производную для исследования степенных функций; совершенствовать навыки построения графиков степенных функций.
    Развивающие: развивать умение применять полученные знания в новых условиях; умение рассуждать, анализировать, обобщать, делать выводы; вовлечь учащихся в активную практическую деятельность.
    Воспитательные: способствовать мобилизации усилий на безошибочное выполнение заданий и экономное расходование времени, воспитывать навыки контроля и самоконтроля и взаимоконтроля.
    Планируемые результаты: 
    Учащиеся должны знать:
    Свойства степенной функции в зависимости от показателя.
    Теорему о производной степенной функции.
    Учащиеся должны уметь:
    Называть свойства степенной функции в зависимости от показателя.
    Строить графики степенных функций с любым рациональным показателем и выполнять их преобразования.
    Применять производную степенной функции для исследования на монотонность и экстремумы, нахождения наибольших и наименьших значений функций.
    Четко, ясно излагать свои мысли, анализировать, обобщать, делать выводы.
    Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран.
    Дидактическое обеспечение урока: презентация по теме урока, карточки для проверки теоретического материала, сборники для самостоятельных работ, бланки для выставления оценок по ходу урока.
    Интернет – ресурсы: 
    https://yadi.sk/d/peGRiVMZdVbgp – сборник самостоятельных работ.
    
    
    Содержание урока:
    
    1. Организационный момент: сообщить тему и цель урока (слайд 1), проверить готовность учащихся к работе на уроке, раздать бланки для выставления оценок и объяснить, как ими пользоваться в процессе урока.
    2. Взаимопроверка домашнего задания: (несколько учащихся заранее записывают решения на доске). После проверки домашнего задания учащиеся выставляют полученные оценки в бланки.
    
    
    
    
    
    
    № 9.15 (б)
    
    
    
     № 9.33 (б, в)
    
    № 9.33(б, в)
    б) (g(x))´= ()´ =  ˑ 3 ˑ(3x – 1)-2/3 = (3x – 1)-2/3
    (g(´ = (3ˑ  - 1)-2/3  =  1
    в) (g(x))´= (x-1 + x-2)´ = -x-2 + (-2)ˑ x-3 = -( +  )
    (g(´ = - (1+2) = -3
    
    3. Актуализация знаний учащихся с помощью презентации (слайды 2, 3, 4, 5):
    Учащимся предлагается ответить на контрольные вопросы:
    1. Определение степенной функции у = хr.
    
    2.  Свойства функции                             для:
                    
    
    
    3. Производная степенной функции.
    4. Задание: по графикам функций составьте системы уравнений:
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Один из возможных вариантов ответа на задание  № 4:
    
    1)         2)       3) 
    
    
    4. Самостоятельная работа по проверке теоретических знаний по теме урока с последующей самопроверкой с помощью презентации (слайды 6, 7, 8) и самооценкой. Оценки за самостоятельную работу учащиеся выставляют в бланки.
    Учащиеся 1 варианта работают по карточкам для проверки теории, учащиеся 2 варианта решают задания  стандартного типа из учебника, затем наоборот.
    
    5. Выполнение заданий стандартного типа: 
    № 9.19(а)
    № 9.27
    6. Закрепление темы урока (с помощью презентации: слайд 9):
    Пример № 3: Составьте уравнение касательной к графику функции                               
     в точке а = 1. 
    Решение: 
    1. Найдём значение функции:  
    
    2. Найдём производную функции: 
    
    
    3. Найдем значение производной в точке а = 1: 
    
    4.  Подставим значения f(a),  f'(a)  и а в  уравнение касательной и получим:  
    
    
    
    7. Самостоятельная работа: сборник самостоятельных работ «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс», Л.А. Александрова, С-10, с.24, 25.
    После выполнения самостоятельной работы учащиеся сдают тетради на проверку учителю. При выставлении оценок за урок необходимо учесть оценки в бланках, полученные учащимися по ходу урока за домашнее задание и самостоятельную работу по проверке теории.
    Начало формы
     
    
    
    
    
    8. Запись домашнего задания: § 9 (повторить свойства степенных функций), № 9.28, № 9.39(а, б)
    9. Подведение итогов урока и рефлексия: 
    - Скажите, чему вы научились, изучив тему: «Степенные функции, их свойства и графики»?
    -  Что особенно понравилось (не понравилось) на уроке? Почему?
     

    Автор(ы): Николаева Л. А.

    Скачать: Алгебра 11кл - урок 3.doc

Презентация к уроку

Задания к уроку