Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Тема: Логарифмические неравенства
Цели урока:
Образовательная – обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Логарифмические неравенства» при решении ключевых задач, подготовка к ЕГЭ;
Развивающая – формирование способности анализировать, обобщать полученные знания применять их на практике, формирование логического мышления, развитие творческого потенциала учащихся;
Воспитательная – повышение интереса к получению новых знаний, формирование навыков умственного труда через поиск рациональных путей решения задач.
Тип урока: урок-практикум.
Оборудование:
- Персональный компьютер.
- Проектор.
- Презентация.
Ход урока
I Организационный момент
Сообщается тема урока, цель.
II Актуализация знаний
Сегодня на уроке мы систематизируем полученные знания и научимся их применять при решении простейших логарифмических неравенств.
Фронтальный опрос:
1) Дайте определение логарифмического неравенства.
Ответ учащегося: Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма.
2) Чем следует руководствоваться при решении логарифмических неравенств?
Ответ учащегося: При решении логарифмических неравенств необходимо руководствоваться следующим:
а) при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы сравниваем основание логарифма с единицей;
б) если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства, при этом
при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений;
в) при решении логарифмического неравенства при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.
Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство
равносильно системе:
Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство
равносильно системе:
III Решение задач
Рассмотрим решение ключевых задач.
Пример 1.
Решение:
Т.к.; убывает на всей области определения и ,
то неравенство равносильно системе
Ответ: (0,2;0,4).
Пример 2.
Решить неравенство
Решение:
Находим ОДЗ по определению логарифма:
Перейдем в неравенства от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, при этом, так как основание логарифма меньше единицы (0,5 <1), знак неравенства поменяем на противоположный:
С учетом ОДЗ, окончательно имеем, что .
Ответ:
Пример 3. .
Решение:
Т. к. ; убывает на всей области определения, то неравенство равносильно системе
Ответ: (0,75;2).
Пример 4.
Решить неравенство
Решение.
По определению логарифма, область допустимых значений:
Решение данного неравенства найдем с помощью метода интервалов, для этого левую часть разложим на множители. Решим квадратное уравнение .
Таким образом, получили корни . Значит, левую часть неравенства можно представить в виде:
Отметим нули каждого множителя (а это будут значения ) на числовой прямой и определим знаки неравенства в полученных интервалах:
Учитывая знак неравенства, определим ОДЗ:
ОДЗ определили, теперь приступим к решению исходного логарифмического неравенства:
Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 2:
Перейдем от неравенства относительно логарифмов к неравенству для под логарифмических функций: так как основание логарифма больше единицы (2> 1), то знак неравенства не изменится:
Приравняем к нулю левую часть неравенства и решим полученное квадратное уравнение .
Таким образом, получили корни . Отметим точки на числовой оси и определим знаки неравенства в полученных интервалах.
Учитывая, что нас интересуют все значения , при которых данное неравенство принимает положительные значения, то получаем следующие интервалы: . Это ответ, так как данные интервалы полностью принадлежат ОДЗ.
Ответ:
Пример 5. Решите неравенство:
Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:
Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:
Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:
Пример 6. (ЕГЭ 2016) Решите неравенство (неравенство, сводящееся к простейшему):
Решение. Найдем область допустимых значений:
На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:
После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:
С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:
Пример 7.
Решить неравенство
Решение.
Находим ОДЗ:
К логарифмам в левой части применим свойство суммы логарифмов:
Представим правую часть неравенства как логарифм по основанию 0,5:
Так как основание логарифма меньше единицы (0,5 <1), то знак неравенства изменится на противоположный:
или
Решая квадратное уравнение :
получим корни:
Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки в полученных интервалах.
Учитывая, что нас интересуют те значения , при которых данное уравнение принимает неположительные значения, получаем интервал:
Пересекая полученный интервал с ОДЗ, окончательно будем иметь:
Ответ:
Неравенства 1-6 решаются с подробным комментированием у доски. Неравенство 7 решается индивидуально с последующей проверкой.
IV Проверка знаний учащихся
Тестирование учащихся по усвоению материала.
1. Найдите наибольшее целое решение неравенства
а) 1
б) -2
в) 2
г) 0
2. Найти число целых решений неравенства
а) 4
б) 2
в) 5
г) 6
3. Найти сумму целых решений неравенства
а) 9
б) 8
в) 10
г) 12
V Разбор домашнего задания
Теория по теме «Логарифмические неравенства», №
18.2
18.3
18.4
VI Итог урока
Сегодня на уроке мы рассмотрели решение ключевых задач и научились их применять при решении простейших логарифмических неравенств и задач повышенного уровня сложности.
Автор(ы): Кузнецова С. Д.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.doc Название предмета: Алгебра и начала математического анализа
Класс: 11
УМК: Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, в 2-х ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (профильный уровень)/ А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 8-е издание., стер. – М.: Мнемозина, 2014г.
Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных организаций (профильный уровень)/ под ред. А.Г. Мордкович – 8-е издание., стер. – М.: Мнемозина, 2014г.
Уровень обучения: Профильный.
Тема урока: Логарифмические неравенства (решение ключевых задач).
Общее кол-во часов, отведенное на изучение темы: 3 часа.
Место урока в системе уроков: 2 урок по теме.
Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Логарифмические неравенства» при решении ключевых задач, подготовка к ЕГЭ.
Задачи урока:
- Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Логарифмические неравенства» при решении ключевых задач, решить задачи ЕГЭ;
– Формировать способность анализировать, обобщать полученные знания и применять их на практике. Развивать творческий потенциал учащихся;
– Повысить интерес к получению новых знаний, формировать навык умственного труда через поиск рациональных путей решения задач.
Планируемые результаты: Умение применять свойства логарифмической функции при решении простейших неравенств.
Техническое обеспечение урока: персональный компьютер, проектор.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
1. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2014. Математика. Задача С4/Под ред. А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. – М.:МЦНМО, 2015. – 120с
2. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2014. Математика. Задача С5/Под ред. А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. – М.:МЦНМО, 2015. – 120с
3. Шестаков С.А., Захаров П.И. ЕГЭ 2014. Математика. Задача С6/Под ред. А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. – М.:МЦНМО, 2015. – 120с
4. Лаппо, Л.Д. ЕГЭ 2014. Математика. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий ЕГЭ/Л.Д.Лаппо, М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2014. – 63, с. (Серия «ЕГЭ. Практикум»)
5. ЕГЭ 2014. Математика. Типовые тестовые задания/ И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров, В.С. Панферов, С.Е. Посицельский, А.В. Семёнов, А.Л. Семёнов, М.А. Семёнова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Э.Шноль, И.В. Ященко; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2015. – 55, с. (Серия «ЕГЭ 2014. Типовые тестовые задания»)
6. ЕГЭ 2014. Математика: тренировочные задания/ Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. – М.: Эксмо, 2013. – 80 с. – (ЕГЭ. Тренировочные задания).
7. ЕГЭ – 2015. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/под ред. А.Л.Семёнова, И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2016. – 240 с. – (ЕГЭ-2016. ФИПИ – школе)
8. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/ А.Л. Семёнов, И.В. Ященко и др. – М.: Издательство «Экзамен», 2015.
Интернет ресурсы
1. http://reshuege.ru/
2. http://shpargalkaege.ru/
3. http://alexlarin.net/
4. http://mathege.ru/or/ege/Main
5. http://mathgia.ru/or/gia12/Main
6. открытый банк заданий на сайте: http://mathgia.ru
7. открытый банк заданий на сайте ФИПИ http://fipi.ru
Содержание урока:
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний учащихся
III. Решение задач (ключевых неравенств)
IV. Проверка знаний учащихся (тестирование по усвоению материала)
V. Разбор домашнего задания по материалам ЕГЭ
VI. Итог урока
Автор(ы): Кузнецова С. Д.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект 1.docxАвтор(ы): Кузнецова С. Д.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.pptx
