Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра Класс 9 УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008 Уровень обучения: базовый У р о к 12 (84). Нахождение суммы первых п членов геометрической прогрессии Цели: вывести формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверочная работа. В а р и а н т 1 1) Выпишите формулу п члена геометрической прогрессии. 2) В геометрической прогрессии (bп) известны b1 = 1,6 и q = 2. Найдите b5; bk. 3) Найдите первый член геометрической прогрессии (bп), в которой b6 = , q = . 4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что b4 = 25, b6 = 16. В а р и а н т 2 1) Выпишите характеристическое свойство геометрической прогрессии. 2) В геометрической прогрессии (ап) известны а1 = 3,2 и q = . Найдите а4; аk + 1. 3) Найдите первый член геометрической прогрессии (ап), в которой а5 = , q = . 4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn), в которой b6 = 100, b8 = 9. О т в е т ы: Задание Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 1 bn = b1 · qn – 1 bn2 = bn – 1 · bn + 1 2 25,6; 0,8 · 2k 0,4; 1,6 · 3 9 4 или – 0,3 или –0,3 III. Объяснение нового материала. 1. У с т н а я р а б о т а (актуализация знаний). Упростить выражение: а) ; б) ; в) 3п + 1 – 3п – 1. 2. Привести легенду об индийском принце и изобретателе шахмат, который в награду за изобретение попросил столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на 1-ю клетку положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, на третью – в два раза больше, чем на вторую, и т. д. до 64-й клетки. Количество зерен в клетках составляет геометрическую прогрессию 1; 2; 22; 23; … 263. Если мы сумму обозначим через S, то S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 263. Домножим обе части на знаменатель геометрической прогрессии: 2S = 2 + 22 + 23 + … + 263 + 264; 2S – S = (2 + 22 + 23 + … + 263 + 264) – (1 + 2 + 22 + 23 + … + 263); S = 264 – 1. Если подсчитать это число и перевести на килограммы, то масса превысит триллион тонн. 3. Решая предыдущую задачу, мы уже определим принцип вывода формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии. Повторим эти рассуждения для произвольных b1 и q. Sп = b1 + b2 + b3 + … bп – 1 + bп; (1) , так как b1q = b2, , получаем . (2) Вычитаем почленно из (2) равенство (1) и получаем Sn (q – 1) = bnq – b1, тогда – формула суммы первых п членов геометрической прогрессии. Задать учащимся вопрос: а как быть в случае, когда q =1? 4. Также можно дать задание самостоятельно преобразовать формулу, чтобы выражать сумму только через b1, q и п. IV. Формирование умений и навыков. Упражнения: № 648, № 649 (а, г). Самостоятельное решение упражнений на «прямое» применение формулы II. № 651 (а, б), № 653. Решение у доски с комментариями. № 654. Р е ш е н и е а) (хп) – геометрическая прогрессия; х5 = 1 = ; q = . х5 = х1 · q4; = х1 · ; = · х1; х1 = 90. S5 = ; S5 = = 134. О т в е т: 134. При решении этого примера можно использовать обе формулы нахождения суммы первых п членов геометрической прогрессии, и учащиеся должны уметь выбирать формулу в зависимости от задачной ситуации. № 655. Это задание повышенной трудности, для решения которого следует не только подставлять значения в формулу, но и оценивать результат, исключать посторонние решения. Р е ш е н и е а1 > 0, a3 > 0, a5 > 0 а2 < 0, а4 < 0 q < 0 а1 = 2, a5 = 162; a5 = а1 · q4; 162 = 2 · q4; q4 = 81; q = –3, так как q < 0. S6 = ; S6 = = = –364. О т в е т: –364. V. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: – По каким формулам находят сумму первых п членов геометрической прогрессии? – Какие ограничения накладываются на выражения в формулах? – Как находится сумма первых п членов геометрической прогрессии со знаменателем, равным 1? Домашнее задание: № 649 (б, в), № 650, № 652 (а, г), № 656, № 659 (а).
Автор(ы): Лескина М. Л.
Скачать: Алгебра 9кл - Конспект 84.docxНазвание предмета Алгебра Класс 9 УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008 Уровень обучения: базовый У р о к 12 (85). Применение формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе. Ход урока I. Организационный момент. II. Устная работа. 1. Вычислить: а) 32п : 9п – 1; (9.) б) 4п · 26 – 2п; (64.) в) 16 : 41 + 2п · 8п. (22 – п.) 2. Является ли геометрической прогрессией последовательность (хп), если: а) хп = 2п; (Да.) б) хп = 3–п; (Да.) в) хп = п2; (Нет.) г) хп = a · bn, если а 0, b 0. (Да.) 3. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию? (Да, любые три равных числа.) III. Формирование умений и навыков. На этом уроке предлагаются для решения упражнения на нахождение суммы первых п членов геометрической прогрессии по двум формулам, а также задания на применение формулы п-го члена и характеристического свойства геометрической прогрессии, в том числе повышенной сложности. Перед решением следует вспомнить определение геометрической прогрессии и все формулы, относящиеся к ней. Упражнения: 1. № 635. Р е ш е н и е (хп) – геометрическая прогрессия. (хп) : 2; а; b; ; ; ; . О т в е т: а = 1; b = . № 640. Р е ш е н и е (хп) – геометрическая прогрессия. х1 = 760; q = 0,8, так как после каждого движения поршня удаляется 20 % воздуха, значит, остается 80 %. Давление после шести движений поршня равно х7 = х1 · q6; х7 = 760 · (0,8)6 ≈ 199,23. О т в е т: ≈ 199,23 мм рт. ст. 2. С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а (с последующей проверкой на этом же уроке). В а р и а н т 1 1) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой . 2) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 5; –2,5; … . 3) (ап) – геометрическая прогрессия. Найдите S4, если а1 = 3, q = –2. 4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = , S4 = 65. В а р и а н т 2 1) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой . 2) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 1,5; –3; … . 3) (aп) – геометрическая прогрессия. Найдите S5, если а1 = 18, q = –. 4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = 2, S8 = 765. Р е ш е н и я самостоятельной работы В а р и а н т 1 1) 2) ; 3) 4) В а р и а н т 2 1) 2) 3) 4) 3. З а д а н и я п о в ы ш е н н о й с л о ж н о с т и. № 657. Д а н о: (хп) – геометрическая прогрессия. хп > 0 для любого n N; х1 + х2 = 8; х3 + х4 = 72; Sk = 242. Н а й т и: k. Р е ш е н и е Пусть q – знаменатель прогрессии и q > 0 (так как хп > 0), тогда по определению хп = х1 · qп – 1. По условию Получаем (так как q > 0). Находим 3k = 243; 3k = 35; k = 5. О т в е т: 5 членов. З а д а ч а. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму пяти первых членов. Р е ш е н и е Пусть a, b, c – первые члены геометрической прогрессии. По свойству геометрической прогрессии имеем b2 = ac. Учитывая условия задачи, запишем следующую систему уравнений с тремя неизвестными: Из первого уравнения a + c = 13 – b. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим: a2 + 2ac + c2 = 169 – 26b + b2 (1); из второго уравнения a2 + c2 = 91 – b2. Подставляем в уравнение (1) и получаем: 91 – b2 + 2b2 = 169 – 26b + b2, 26b = 78, b = 3. Подставляем значение b = 3 в исходную систему и получаем: Таким образом, первые три члена последовательности 1; 3; 9 (q = 3) или 9; 3; 1 . О т в е т: 1; 3; 121 или 9; Задачи повышенной сложности можно решать следующим образом: разобрать идею решения, составить исходную систему уравнений, а ее решение предложить выполнить самостоятельно дома. Или сильным в учебе ученикам предложить решить в классе, а с более слабыми учениками продолжить отрабатывать основные формулы по стандартным упражнениям из сборника самостоятельных работ. IV. Итоги урока. Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 163). Домашнее задание: № 636, № 658, № 710.
Автор(ы): Лескина М. Л.
Скачать: Алгебра 9кл - Конспект 85.docx
