94 Комбинаторные задачи

Текст урока

• Конспект

   Название предмета Алгебра
  Класс 9
  УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008
  Уровень обучения: базовый
  У р о к  94 (1).
  Комбинаторные задачи.
  Комбинации с учетом и без учета порядка
  Цели: ввести понятие комбинаторной задачи, рассмотреть задачи с учетом и без учета порядка; формировать умения решать комбинаторные задачи полным перебором вариантов, а также с помощью графов.
  Ход урока
  I. Организационный момент.
  II. Устная работа. 
  Решить старинную задачу VIII века:
  Волк, коза и капуста
  Некий  человек  должен  был  перевезти  в  лодке  через  реку  волка, козу  и  капусту.  В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?
  При решении этой задачи учащиеся комбинируют разные сочетания, оценивают варианты, получают следующее решение:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  III. Объяснение нового материала.
  1. В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает «соединять, сочетать»).
  С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.
  2. П р и м е р ы   к о м б и н а т о р н ы х   з а д а ч.
  Рассмотрим примеры, разобранные на с. 171–172 учебника. При этом обратим внимание учащихся, что в первой задаче в комбинациях нам не важен порядок элементов, а во второй задаче порядок элементов следует учитывать.
  Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении этих задач, называется перебором возможных вариантов. Смысл этих упражнений в том, чтобы показать учащимся преимущества организованного, систематического перебора вариантов. Не нужно перечислять числа произвольно, по принципу «что придет на ум». Нужна система: фиксируем один элемент и начинаем перебирать оставшиеся, анализируем и т. д.
  Демонстрируем ученикам преимущества наглядного представления комбинаций с помощью графов – полных  либо графа-дерева.
  IV. Формирование умений и навыков.
  На этом уроке при решении задач следует особое внимание уделить анализу условий: является ли задача на комбинацию с учетом или без учета порядка элементов, как удобнее изобразить решение: с помощью графа или простым перечислением (полным перебором).
  № 715.
  В этой задаче не учитывается порядок элементов. Можно осуществлять перебор как в примере 1, а можно наглядно переставить в виде графа:
  В – Вера
  З – Зоя
  М – Марина
  П – Полина
  С – Светлана
  
  Ребра графа показывают связь в парах, таких ребер 10, значит, всего 10 вариантов выбора подруг.
  З а д а ч а. В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
  Р е ш е н и е
  Первое
  блюдо
  
  Второе
  блюдо
  
  Третье
  блюдо
  Варианты
  обеда
  
  
  
  
  
  щ – р – к (1)
  
  
  
  
  
  щ – р – ч (2)
  
  
  
  
  
  щ – г – к (3)
  
  
  
  
  
  щ – г – ч (4)
  
  
  
  
  
  
  щ – п – к (5)
  
  
  
  
  
  щ – п – ч (6)
  
  
  
  
  
  б – р – к (7)
  
  
  
  
  
  б – р – ч (8)
  
  
  
  
  
  б – г – к (9)
  
  
  
  
  
  б – г – ч (10)
  
  
  
  
  
  б – п – к (11)
  
  
  
  
  
  б – п – ч (12)
  О т в е т: 12 вариантов.
  № 716.
  В этой задаче при выборе пар входов порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошел через А, а вышел через В, а ВА означает, что вошел через В, а вышел через А.
  Фиксируем каждый вход по очереди и дописываем к нему в пару оставшиеся:
  А: АВ, АС, АD;
  В: ВА, ВС, ВD;
  С: СА, СВ, СD;
  D: DA, DB, DC.
  Итого – 12 вариантов.
  №. 718, № 720. При решении этих задач следует обратить внимание учащихся, что если мы из цифр составляем двузначное (трехзначное) число, то нуль не может стоять на первом месте.
  № 717. Заметим, что для указания способа раскладки яблок в две вазы достаточно указать способ заполнения одной вазы, поскольку все, что не попадает в первую вазу, попадает во вторую.
  Вообще, во всех случаях, когда п элементов нужно разбить на 2 группы, при подсчете количества способов разбиения достаточно подсчитать число способов формирования одной половины.
  V. Итоги урока.
  В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:
  – Какие задачи называются комбинаторными?
  – Приведите примеры ситуаций выбора комбинаций с учетом и без учета порядка элементов.
  – В чем сущность способа полного перебора вариантов?
  – Из чего состоит граф (граф-дерево) возможных вариантов?
  Домашнее задание: № 714, № 719, № 721, № 729
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Джанаева О. В.

  Скачать: Алгебра 9кл - Конспект.docx