Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра Класс 9 УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008 Уровень обучения: базовый У р о к 98-99 (5-6). Комбинаторные задачи на нахождение числа перестановок из п элементов Цели: продолжить формирование умений применять формулу числа перестановок из п элементов при решении задач. Ход урока I. Организационный момент. II. Устная работа. Вычислить: а) 3!; б) 5!; в) 1!; г) ; д) ; е) 6! – 5!; ж) Р4; з) ; и) Р2 + Р3. Для актуализации знаний учащихся можно использовать презентацию «Перестановки». III. Самостоятельная работа. В а р и а н т 1 1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на шести стульях? 2. У Вовы на обед первое, второе, третье блюда и салат. Он обязательно начнет с салата, а остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда. 3. Игральный кубик бросили трижды и записали выпавшие очки. Найдите число всех возможных результатов. В а р и а н т 2 1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг дачного домика 8 различных деревьев в восемь подготовленных ям? 2. Маше необходимо сшить пяти куклам 5 платьев. Любимой кукле Алине в первую очередь, а остальным в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов пошива кукольной одежды. 3. В ларьке продается 5 видов мороженого в брикетах. Оля и Таня покупают по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки? Р е ш е н и е В а р и а н т 1 1. Будем считать, что стулья пронумерованы. Тогда варианты расположения шести людей на шести стульях будут отличаться один от другого только порядком расположения людей на местах, то есть будут являться перестановками из 6 элементов: Р6 = 6! = 720. О т в е т: 720 способов. 2. После салата Вова может выбрать любое из трех блюд, затем – из двух, а закончить оставшимся. Общее число вариантов: Р3 = 3! = 6. О т в е т: 6 вариантов. 3. Первое бросание кубика может закончиться одним из шести исходов. Каждый исход первого бросания может сочетаться с каждым из шести исходов второго. По комбинаторному правилу умножения таких исходов: 6 · 6 = 36. О т в е т: 36 результатов. В а р и а н т 2 1. Будем считать, что деревья пронумерованы. Тогда варианты расположения восьми деревьев в восьми ямах будут отличаться один от другого только порядком расположения деревьев в ямах, то есть будут являться перестановками из 8 элементов: Р8 = 8! = 40320. О т в е т: 40320. 2. После пошива платья кукле Алине Маша может шить одежду в произвольном порядке четырем оставшимся куклам. Число таких вариантов равно числу перестановок из 4 элементов: Р4 = 4! = 24. О т в е т: 24 варианта. 3. Оля может выбрать брикет любого из 5 видов, Таня также может выбрать брикет любого из 5 видов, в том числе и такой, какой купила Оля. Общее число вариантов покупки равно по комбинаторному правилу умножения: 5 · 5 = 25. О т в е т: 25 вариантов. IV. Формирование умений и навыков. На этом уроке задания имеют качественно иной уровень – необходимо проанализировать условие задачи, составить алгоритм перебора вариантов и только затем применять формулу подсчета числа перестановок из п элементов. Упражнения: № 739. Р е ш е н и е Каждое четырехзначное число, составленное из цифр 1; 3; 5; 7 (без повторения), имеет сумму цифр, равную 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Из этих цифр можно составить Р4 = 4! = 24 различных числа, отличающихся только порядком цифр. Сумма цифр всех этих чисел равна 16 · 24 = 384. О т в е т: 384. № 740 (а). Р е ш е н и е Среди чисел, составленных из цифр 1; 2; 3; 4 (без повторения), больше 3000 будут четырехзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4. Фиксируем цифру 3, тогда из оставшихся трех можно получить Р3 = 3! = 6 перестановок. Фиксируем цифру 4, тогда из оставшихся трех чисел можно получить Р3 = 6 перестановок. Значит, всего таких чисел 6 + 6 = 12. О т в е т: 12 чисел. № 741. Р е ш е н и е а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р6 = 6! = 720. б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем: Р5 = 5! = 120. в) Пусть Олег и Игорь стоят рядом. Возможны два варианта их расположения в паре (Олег – Игорь, Игорь – Олег). Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число таких комбинаций для каждого из двух случаев равно Р6 = 6! = 720. Значит, всего вариантов 720 + 720 = 1440. З а м е ч а н и е: Такой прием называется «склеиванием» элементов. О т в е т: а) 720; б) 120; в) 1440. Также на уроке можно предложить для решения задачи повышенной сложности. № 744. Р е ш е н и е Применяем прием «склеивания» элементов. Пять сборников стихов можно «склеить» между собой Р5 = 5! = 120 различными способами. Теперь имеем множество, состоящее из 8 элементов (7 элементов + + «склейка»). Для каждой из 120 «склеек» существует Р8 = 8! = 40320 перестановок в группе из 8 элементов. Значит, общее число способов расставить 12 книг, из которых 5 должны стоять рядом, равно 120 · 40320 = = 4 838 400. О т в е т: 4 838 400 способов. № 745. Р е ш е н и е а) 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10-е: Р10 = 10! = 3 628 800 различными способами. б) Если мальчики могут сидеть только на нечетных местах, а девочки – только на четных, то мы можем менять местами только мальчиков с мальчиками и девочек с девочками. Для мальчиков это Р5 = 5! = 120 вариантов и Р5 = 120 вариантов – для девочек. Каждый вариант расположения мальчиков может сочетаться с каждым из вариантов расположения девочек, поэтому по комбинаторному правилу умножения общее число способов рассадить детей в этом случае равно 120 · 120 = 14400. О т в е т: 3 628 800, 14400. V. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: – Что называется перестановкой из п элементов? Запишите формулу для вычисления числа перестановок из п элементов. – Каким способом решаются комбинаторные задачи на перестановки при фиксированных элементах? – В чем суть приема «склеивания» элементов? Домашнее задание: № 740 (б), № 742, № 743, № 750.
Автор(ы): Джанаева О. В.
Скачать: Алгебра 9кл - Конспект.docxАвтор(ы): Джанаева О. В.
Скачать: Алгебра 9кл - Презентация к уроку.ppt
