Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра
Класс 9
УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008
Уровень обучения: базовый
У р о к 101-102 (8-9).
Комбинаторные задачи на нахождение числа
размещений из п элементов по k (k ≤ п)
Цель: продолжить формирование умений применять формулу нахождения числа размещений из п элементов по k при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Вычислить:
а) ; б) ; в) .
2. Делится ли 50!:
а) на 75; б) 77; в) 159.
3. Имеются три книги трех различных авторов: Толстого Л. Н. (Т); Пушкина А. С. (П); Достоевского Ф. М. (Д). Сколькими способами из этих книг можно расположить на полке:
а) одну книгу; б) две книги; в) три книги?
Для проведение актуализации знаний учащихся можно использовать презентацию «Примеры решения комбинаторных задач».
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке следует решать упражнения не только на прямое применение формулы нахождения числа размещений, но и задачи повышенной сложности, а также задачи, имеющие несколько способов решения.
№ 761.
Р е ш е н и е
Выбираем 5 букв для обозначения точек из 26 букв в алфавите; порядок выбора имеет значение (какую точку какой буквой обозначим):
.
О т в е т: 7 893 600 способов.
№ 763.
Р е ш е н и е
Выбираем из 10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр (без нуля). Используя метод исключения лишних вариантов, получаем:
= 1· 2 · 3 · 4 · 5 · 7 · 8 · 9 · 9 = 544320.
О т в е т: 544320.
№ 764.
Р е ш е н и е
Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:
а) последней цифрой должна быть 2 или 4; количество вариантов (фиксирована 2) + (фиксирована 4) = 2 · = 2 · 3 · 4 = = 24.
б) последней цифрой должна быть 5; количество вариантов равно (фиксирована 5) = = 3 · 4 = 12.
О т в е т: а) 24 числа; б) 12 чисел.
Прежде чем приступить к самостоятельной работе, можно решить два задания повышенной сложности с факториалами.
№ 837.
Р е ш е н и е
Число оканчивается одним нулем, если среди множителей, на которые оно разлагается, есть одно число 10; оканчивается двумя нулями, если есть два множителя 10; и тремя нулями – если есть три множителя 10.
Поскольку п! есть произведение п последовательных натуральных чисел, то в нем каждый второй множитель четный, то есть содержит в разложении число 2, а каждый пятый множитель кратен 5. Поэтому каждый пятый множитель в п! добавляет в разложение этого числа одно число 10.
Таким образом,
а) 5! содержит двойки и одну 5, что дает один множитель 10, то есть 5! заканчивается одним нулем;
б) 10! содержит двойки и две 5, что дает два множителя 10, то есть 10! оканчивается двумя нулями;
в) 15! содержит двойки и три 5, что дает три множителя 10, то есть 15! оканчивается тремя нулями.
О т в е т: а) 5!; б) 10!; в) 15!
№ 840.
Р е ш е н и е
а) = 42; = 42;
п · (п + 1) = 42; п = 6.
З а м е ч а н и е: квадратное уравнение можно не решать, так как второй корень не будет натуральным числом.
б) ; ; ;
; .
О т в е т: а) п = 6; б) п = 5.
IV. Самостоятельная работа.
В а р и а н т 1
1. Сколькими способами пять школьников, сдающих экзамен, могут занять места в классе, в котором стоят 20 одноместных столов?
2. Решить уравнение:
п! = 7 (п – 1)!.
3. Сколькими нулями оканчивается число 12!?
В а р и а н т 2
1. Сколькими способами семь малышей могут занять места в комнате детского сада, в которой стоит 18 детских стульчиков?
2. Решить уравнение:
п! = 12 (п – 1)!.
3. Сколькими нулями оканчивается число 16!?
Р е ш е н и е
В а р и а н т 1
1. Выбираем пять столов для школьников из 20 имеющихся (порядок выбора учитывается):
= 16 · 17 · 18 · 19 · 20 = 1 860 480.
О т в е т: 1 860 480 способов.
2. п! = 7 (п – 1)!;
п (п – 1)! = 7 (п – 1)!;
п = 7.
О т в е т: п = 7.
3. В числе 12! содержится две пятерки и двойки, что дает два множителя 10. Значит, 12! заканчивается двумя нулями.
О т в е т: двумя нулями.
В а р и а н т 2
1. Выбираем семь стульчиков из 18 имеющихся (порядок выбора имеет значение):
= 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 = 160 392 960.
О т в е т: 160 392 960 способов.
2. п! = 12 (п – 1)!;
п (п – 1)! = 12 (п – 1)!;
п = 12.
О т в е т: п = 12.
3. В числе 16! содержится три пятерки и двойки, что дает три множителя 10. Значит, 16! заканчивается тремя нулями.
О т в е т: тремя нулями.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется размещением из п элементов по k?
– Запишите формулу нахождения через факториалы.
– Запишите по комбинаторному правилу умножения.
Домашнее задание: № 835, № 836.
З а д а ч а. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:
а) не встречаются цифры 6 и 7;
б) цифра 8 является последней?
Автор(ы): Джанаева О. В.
Скачать: Алгебра 9кл - Конспект.docx
