Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
УРОК №1 Название предмета: Геометрия Класс: 10 УМК (Геометрия, Л.С.Атанасян, 2014) Уровень обучения (базовый) Тема урока: «Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых». Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 5 Место урока в системе уроков по теме: Объяснение нового материала с элементами первичного закрепления. Цель урока: 1) образовательная: ввести понятие параллельных прямых в пространстве; рассмотреть свойства параллельных прямых: а) Теорема о параллельных прямых; б) Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми; в) Признак параллельности трёх прямых; 2) развивающие: развитие умения обобщать полученные знания; развитие логического мышления; 3) воспитательные: развитие внимания; развитие умения четко выполнять чертежи; развитие речи учащихся. Задачи урока: изучить понятие параллельных прямых в пространстве и свойства параллельных прямых: Планируемые результаты Предметные: знать аксиомы, теоремы по данной теме и уметь их доказывать, применять при решении типовых задач. Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения и работать в группе. Метапредметные: уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию. Техническое обеспечение урока: компьютер на рабочем месте учителя, проектор, экран. Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы): 1. Изучение геометрии 10-11 кл.: книга для учителя / С.М.Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2014; 2. Алтынов П.И. Геометрия. 10-11 класс. Тесты. 2013 3. Шарапова В.К. Тематические тесты по геометрии: 10-11 классы, Феникс, 2013 4. Лаппо Л.Д., Морозов А.В. Геометрия. Типовые вопросы и задачи – М.: «Экзамен», 2016. Содержание урока (в соответствии с требованиями к современному уроку). 1.Организационная часть. 2.Мотивационная часть. 3. Изучение и нового материала и актуализация знаний 4.Подведение итогов урока 5.Домашнее задание. 6.Рефлексия урока. Ход урока 1. Организационная часть Сегодня мы с вами должны подняться ещё на одну ступеньку вверх, «преодолевая» задачи, которые будут рассматриваться на уроке. Мы начинаем изучение темы «Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых». Наша задача вспомнить все, что мы знаем про рараллельность прямых из планиметрии и расширить наши знания в стериометрии. 2. Мотивационная часть. Мы должны изучить новую тему и закрепить наши знания.Эти знания пригодятся нам для решения практических задач, для успешной сдачи ЕГЭ. Вы должны научиться анализировать и устанавливать связь между элементами темы. Развить свою активность, сформировать учебно - познавательные действия, коммуникативные навыки. Хотелось бы создать условия вашей успешности на уроке; чтобы вы проявили способность к самоанализу, рефлексии, умение рецензировать и корректировать ответы товарищей. А каковы пути и средства достижения этих целей? 3. Изучение нового материала 1. Определение параллельных прямых в пространстве Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.). Обозначение параллельных прямых: a || b. Рис. 1. 2. Теорема 1 и ее доказательство Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Дано: прямая а, (Рис. 2.) Доказать: существует единственная прямая b || a, Рис. 2. Доказательство: Через прямую а и точку , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано. Рис. 3. Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана. 3. Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Дано: а || b, Доказать: Рис. 4. Доказательство: (Рис. 4.) Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости. Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a =MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости α.. Докажем, что N - это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и bпараллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана. 4. Теорема 2 и ее доказательство Теорема 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Дано: Доказать: . Рис. 5. Доказательство: (Рис. 5.) Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости α. Предположим противное. Пусть прямая bне лежит в плоскости α. Тогда прямая bпересекает плоскость α в точке К. Так как прямые bи с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая bлежит в плоскости α. Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и bпересекаются в некоторой точкеМ. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются. Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и bпараллельны (по определению), что и требовалось доказать. Актуализация опорных знаний. Теперь мы потренеруемся применять полученные сегодня знания на практике, решив задачи №16 и 17 на доске. (к доске вызываются два ученика поочереди, которые решают задачи и коментируют решения, остальные учащиеся дополняют и задают вопросы, учитель корректирует решение) Задачу № 18 учащиеся решают самостоятельно, после чего обмениваются тетрадями и проверяют решение, выведенное на экран. Оценивают решение. Задача №18 решение проверить с использованием компьютера. ДАНО: РЕШЕНИЕ: пересекающиеся прямые и определяют некоторую плоскость (второе следствие из аксиом). В этой плоскостичерез точку проходит единственная прямая, параллельная прямой . Отсюда следует, что точки лежат на одной прямой. Далее, , поэтому ОТВЕТ: 12см. 4. Подведение итогов урока. Молодцы! Трудились с полной отдачей, ощутили радость своего труда. Что нового мы узнали сегодня на уроке, а что уже знали? Вспомним определение параллельных прямых в пространстве Какие теоремы мы сегодня изучили? В какой части экзамена пригодятся нам полученные знания? Оценки за урок у каждого в тетради, наиболее активные ученики и выходящие к доске оцениваются дополнительно. 5. Рефлексия. У каждого ученика в начале урока лежали на столах смайлики. В конце урока они сдают учителю тот смайлик, который соответствовал их настроению. Мне всё понятно. Вопросов нет. Мне ничего не понятно. У меня есть вопросы. 6. Задание на дом. Подготовиться к теоретическому опросу; Задачи из учебника: 18(а), 19.
Автор(ы): Варавина О. Л.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docxНазвание предмета Геометрия Класс 10 УМК Геометрия. 10- 11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профилный уровни / [ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. М.: Просвещение, 2012. Уровень обучения профильный Тема урока: «Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых» Общее количество часов, отведенное на изучение темы: на изучение темы отводится 2 часа. Место урока в системе уроков по теме: данная тема рассматривается в разделе «Параллельность прямых и плоскостей» и является 1 уроком разделе. Цель урока: рассмотреть взаимное расположение прямых в пространстве; ввести определение параллельных прямых; рассмотреть теорему о параллельности трех прямых. Задачи урока: - познакомить учащихся с параллельными прямыми в пространстве; - научить выполнять чертежи параллельных прямых в пространстве; - показать применение данной темы на практике; - развивать умение мыслить, сопоставлять, делать выводы; - воспитывать у учащихся осуществлять самоконтроль, умение обобщать, обсуждать, добиваться поставленной цели; Планируемые результаты: в результате изучения учащиеся должны: знать определение параллельных прямых в пространстве, уметь анализировать в простейших случаях взаимное расположение прямых в пространстве, используя определение параллельных прямых. Техническое обеспечение урока: документ-камера, экран или интерактивная доска, проектор Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: тестовые задания, деревянные палочки. Содержание урока: 1. Организационный момент. 2. Мотивация и целеполагание «К геометрии нет царской дороги». Евклид. Как вы считаете, что хотел этими словами сказать Евклид. 3. Проверка домашнего задания. Устно по вопросам (фронтально): что называется аксиомой? что изучает стереометрия? аксиома А1; аксиома А2; аксиома А3; Самостоятельное задание с последующей взаимопроверкой Тест 1 Через сколько точек можно провести прямую? 1. через 2 2. через 3 3. через 1 2 Как пересекаются плоскости? 1. в точке 2. по прямой 3. в трёх точках 3 Если две прямые имеют общую точку, то через них можно провести только … 1. одну прямую 2. одно пространство 3. одну плоскость 4 Что такое аксиома? 1. Утверждение, которое доказывается с помощью теорем 2. Утверждение не требующее доказательств 3. Утверждение которое доказывается с помощью определений 5 Сколько прямых можно провести через две точки? 1. 4 2. 3 3. 1 6 Что может принадлежать плоскости? 1. прямая 2. плоскость 3. прямая и точка 7 Что может принадлежать прямой? 1. точка 2. прямая 3. плоскость 8 Теорема – это утверждение… 1. нетребующее доказательств 2. доказывается с помощью аксиом 3. доказывается с помощью аксиом, определений и других теорем 4. Изучение нового материала. Исторический экскурс (Выступает ученик, который заранее подготовил сообщение о появлении знака параллельности.) (примерное выступление) Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), создавшего замечательное руководство по математике под названием «Начала». В этой книге есть раздел о параллельных прямых. В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка как «идущий рядом». В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║». В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного. Учащиеся комментируют выступление и оценивают его. - Вы уже знаете из курса планиметрии, как могут располагаться прямые на плоскости. Покажите с помощью деревянных палочек взаимное расположение прямых на плоскости и опишите особенности расположения. а) пересекаются – имеют общую точку. б) параллельно – не пересекаются. -Давайте вспомним: какие прямые называются параллельными? - Приведите примеры параллельных прямых в жизни? (рельсы, параллельные улицы, след от автомобиля, лыжня). Определение параллельных прямых в пространстве. - В жизни нам приходится сталкиваться с параллельными прямыми не только на плоскости, но и в пространстве. Работа с учебником. - Найдите в тексте учебника определение параллельных прямых в пространстве. Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. - Чем это определение параллельных прямых в пространстве отличается от определения на плоскости (лежат в одной плоскости). - Обозначение: ║ (заносим в тетрадь обозначение). Выполнение чертежа параллельных прямых в тетради. Работа в группах Класс поделить на 3 группы, так, чтобы в группах были учащиеся разного уровня учебной мотивации. Задание. Пользуясь доказательством теорем и леммы в учебнике, оформить их в тетрадь, спланировать объяснение доказательств для своих одноклассников и доказать теоремы у доски. 1 группа: Доказательство теоремы. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. М a b||а и Мb (b - единственная) 2 группа: Доказательство леммы: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. 3 группа: Доказательство теоремы. Две прямые, параллельные третьей прямой будут параллельны Оценивание работы в группах. 5. Закрепление изученного материала. Решение задач № 18(а) (у доски) Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найти длину отрезка СС1, если С – середина отрезка АВ и ВВ1=7см. Решение: Так как bb1 || cc1, то эти отрезки лежат в одной плоскости р (из определения). тогда с ∈ β и в ∈ β, поэтому вс ⊂ β. значит, прямые вв1 сс1 ав ⊂ р. Рассмотрим треугольник ав1в в плоскости β: (по 2-м углам) из подобия имеем: №19 (дополнительно для учащихся, которые быстро решают) Стороны АВ и ВС параллелограмма АВСД пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и CD также пересекают плоскость α. По лемме CD пересечет α, т.к. CD || AB, а АВ пересекает α. По лемме AD пересечет α, т.к. AD || BC, а ВС пересекает α. №20 (для самостоятельного решения с последующей самопроверкой и обсуждением ошибок). Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскоскость α? Решение: Пусть ВС ∩ α, тогда => MN ∩ α. Получили противоречие, так как MN α => ВС α. Аналогично доказываем, что AD α. 6. Домашнее задание: параграф 1 пункты 4-5, задача № 21, задача № 18 б (учебник геометрия 10-11 Л.С. Атанасян, Просвещение 2006). 7. Итог урока. а) выставление оценок с комментированием; б) вопросы к учащимся: что нового узнали на уроке? примеры параллельных прямых; какие вопросы по решению задач? 8. Рефлексия. «К геометрии нет царской дороги». Вспомните высказывание Евклида, которое вы прочли в начале урока. Уместным ли оно было на этом уроке. Кому было сегодня легко? У кого возникли трудности? Приложение Тест 1 Через сколько точек можно провести прямую? 4. через 2 5. через 3 6. через 1 2 Как пересекаются плоскости? 4. в точке 5. по прямой 6. в трёх точках 3 Если две прямые имеют общую точку, то через них можно провести только … 4. одну прямую 5. одно пространство 6. одну плоскость 4 Что такое аксиома? 4. Утверждение, которое доказывается с помощью теорем 5. Утверждение не требующее доказательств 6. Утверждение которое доказывается с помощью определений 5 Сколько прямых можно провести через две точки? 4. 4 5. 3 6. 1 6 Что может принадлежать плоскости? 4. прямая 5. плоскость 6. прямая и точка 7 Что может принадлежать прямой? 4. точка 5. прямая 6. плоскость 8 Теорема – это утверждение… 4. не требующее доказательств 5. доказывается с помощью аксиом 6. доказывается с помощью аксиом, определений и других теорем
Автор(ы): Лешина Е. В.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docx
