Трехгранный угол. Многогранный угол

Текст урока

• Конспект

   Урок 45
  ТРЕХГРАННЫЙ УГОЛ. МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ.
  Цель: доказать одно из свойств трехгранного угла, часто применяющееся при решении задач.
  Задачи: отработка навыка решения стереометрических задач
  Планируемые результаты: Знать: свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства его диагоналей. Уметь: применять свойства прямоугольного параллелепипеда при нахождении его диагоналей. 
  Ход урока
  Если два плоских угла трехгранного угла равны, то их общее ребро проецируется на биссектрису третьего плоского угла.
  
  Дано: АВС = АВD,
  ВО (АDС). 
  Доказать, что АО – биссектриса
  САD.
  Доказательство
  1. Δ ABD = Δ АВС (как прямоугольные по гипотенузе и острому углу) 
   AD = АС.
  2. Δ ADO = Δ АСО (как прямоугольные по гипотенузе и катету) 
  1 = 2  АО – биссектриса.
  I. Решение задач.
  № 1. Все грани параллелепипеда – равные ромбы, со стороной а и острым углом α. Найдите высоту параллелепипеда.
  Решение
  
  1.  биссектрисе А.
  2. 
  3. Проведем ОМ  AD.
  По теореме о трех перпендикулярах А1М AD.
  4. Δ АА1М – прямоугольный. AM = a ∙  cos α.
  5. Δ АОМ – прямоугольный. АО =.
  6. Δ А1АО – прямоугольный.
  H = А1О =.
  № 2. Основанием параллелепипеда является прямоугольник со сторонами а и b. Боковое ребро длины с образует со смежными сторонами основания углы, равные φ. Найдите высоту параллелепипеда.
  Решение
  
  1.  биссектрисе А.
  2. 
  3. Проведем ОМ AD. По теореме о трех перпендикулярах А1М AD.
  4. Δ А1АМ – прямоугольный. AM = c ∙  cos φ.
  5. Δ АОМ – прямоугольный. АО =∙  c ∙  cos φ.
  6. Δ А1АО – прямоугольный.
  H = А1О =
  .
  № 3. Все грани тетраэдра АBCD – равные равнобедренные треугольники с боковыми сторонами, равными а, и углом между ними – 2α.
  Найдите высоту тетраэдра.
  Решение
  
  1.  биссектрисе А.
  2.  AK – медиана и высота. О АK.
  3. Δ MDC – прямоугольный. DM = a ∙  sin 2α. MC = a ∙  cos 2α.
  4. AM = AC – MC = a – a ∙  cos 2α = a (1 – cos 2α) = 2a sin2α.
  5. Δ AOM – прямоугольный. OM = AM ∙  tg α = 2a sin2α ∙  tg α.
  6. H = DO =
  = .
  Домашняя контрольная работа
  Вариант I
  1. Чему равен угол между ребром двугранного угла и любой прямой, лежащей в плоскости его линейного угла?
  2. Треугольник АВС – прямоугольный (С = 90°), А = 30°, АС = а, DC  АВС. DC =a. Чему равен угол между плоскостями ADB и ACB?
  3. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость α, параллельная гипотенузе и составляющая с катетом угол 30°. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью α.
  Вариант II
  1. Плоскость α пересекает грани двугранного угла по прямым АВ и АС. Две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости α, перпендикулярны к ребру этого угла. Докажите, что ВАС – линейный угол этого двугранного угла.
  2. ABCD – ромб. А = 60°, АВ = m, BЕ  АВС, BЕ =. Найдите угол между плоскостями AED и АВС.
  3. Через сторону ромба ABCD проведена плоскость α. Сторона АВ составляет с этой плоскостью угол 30°. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью α, если острый угол ромба равен 45°.
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Солдатова Е. В.

  Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docx