Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Предметы
Класс
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Параллельный перенос

Текст урока

  • конспект 

     Название предмета: Геометрия
Класс:11 
УМК: Геометрия 10-11,Л.С.Атанасян,В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцева,2013г
Уровень обучения: базовый
Урок №20
Тема урока: Параллельный перенос
Общее количество часов, отведенное на изучение темы:15
Место урока в системе уроков по теме:13
Цель урока: ввести понятие параллельного переноса; закрепление теоретических знаний по изучаемой теме; совершенствование навыков решения задач.
Задачи урока:
Образовательные: ввести понятие параллельного переноса, совершенствовать навыки решения задач, проверить уровень первичного усвоения материала учащегося;
Развивающие: развитие пространственного мышления, культуру математической речи; формирование навыков работы с текстом, с новыми понятиями, развивать умение наблюдать, рассуждать, анализировать;
Воспитательные: воспитывать организованность, дисциплинированность, ответственность за свой труд и труд одноклассников.
Планируемые результаты: 
Учащиеся должны знать понятие движение пространства, определение  параллельного переноса.
Учащиеся должны уметь решать простейшие геометрические задачи, связанные с движениями.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, экран, презентация.
Содержание урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся
Фронтальная работа с классом: теоретический опрос по вопросам (2 слайд):
1. Что называется движением пространства?
2. Приведите примеры движений.
3. Какое отображение пространства на себя называется центральной симметрией?
4. Какое отображение пространства на себя называется осевой симметрией?
5. Что называется зеркальной симметрией?
6. Какие координаты имеет точка А, если при центральной симметрии с центром А точка, В(1; 0; 2) переходит в точку С(2; -1; 4). (Ответ: А(1,5; -0,5; 3).)
7. Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Oz, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М(2; 2; 3) переходит в точку М1(2; -2; 3). (Ответ: Плоскость, относительно которой рассматривается зеркальная симметрия при которой точка М(2; 2; 3) переходит в точку М1(2; -2; 3), параллельна осям Ох и Oz.)
8. В какую перчатку (правую или левую) переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? (Ответ: в левую), осевой симметрии? (Ответ: левую), центральной симметрии? (Ответ: правую).
В то время, когда идет фронтальная работа с классом, ученик решает задачу № 480 (а) у доски (проверка домашнего задания).
Задача № 480 а). (слайд №3)
Докажите, что при центральной симметрии плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.
Решение:
1) Рассмотрим центральную симметрию пространства с центром О и произвольную плоскость а, не проходящую через точку О (рис. 1).
 

 
Пусть прямая а и b, пересекающиеся в точке А, лежат в плоскости а. При симметрии с центром О прямые а и b переходят соответственно в параллельные прямые а1 и b1 (см. № 479 а). При этом точка А переходит в некоторую точку А1, лежащую как на прямой а1, так и на прямой b1, а значит, прямые а1 и b1пересекаются.
Пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, т. е. прямые а1 и b1 определяют плоскость а1. По признаку параллельности плоскостей а || а1.
2) Далее можно доказать, что при центральной симметрии с центром О плоскость а отображается на плоскость a1. Это можно доказать как в задаче № 479 1а), где было доказано, что прямая АВ отображается на прямую А1В1.
3.Изучение нового материала.
(слайд № 4-5)
Параллельный перенос на вектор р - это такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М1, что вектор ММ1 равен вектору р.
Докажем, что параллельный перенос есть движение.
Пусть параллельный перенос переводит: А—> А1, В—> В1, тогда

По правилу треугольника
, тогда .
Тогда . Это значит, что АВ = А1В1.
Учитель: Подведем итоги: центральная симметрия, параллельный перенос, осевая симметрия, зеркальная симметрия в пространстве являются движениями. Также справедливы утверждения о том, что при движении отрезок переходит в отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.
4. Решение задач
Задача № 483 а).
При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость β отображается в плоскость β1. Докажите, что если β || а1, то β1 || а.
Решение: Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что β || а, но плоскости β1 и а пересекаются. Тогда они имеют общую точку М. Так как M ∈ а, то при данной зеркальной симметрии точка М отображается в себя. Отсюда следует, что точка М, которая принадлежит плоскости β1, лежит также в плоскости β. Но тогда плоскости а и β пересекаются. Полученное противоречие показывает, что наше предложение неверно, следовательно, β1 || а.
 
5. Самостоятельная работа.
(Слайд №6)
1 вариант.
1.Докажите,что центральная симметрия есть движение.
2.Дан тетраэдр МАВС. Постойте фигуру, центрально-симметричную этому тетраэдру относительно точки О.
2 вариант.
1.Докажите,что зеркальная симметрия есть движение.
2.Дан тетраэдр МАВС. Постройте фигуру, зеркально-симметричную этому тетраэдру относительно плоскости β.

6.Подведение итогов урока 
Сегодня мы закрепили теоретические знания по теме «Движения» и отработали навыки использования их в процессе решения задач различного уровня сложности.

1)Домашнее задание.(слайд №7)Решить задачи: № 480 (б), 483 (б) (подобные были рассмотрены на уроках);
Дополнительные задачи:
№ 519 (Указание: рассмотреть линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями а и β, а и β1).
№ 520 (Указание: взять на плоскость а две пересекающиеся прямые и воспользоваться задачей № 484)
2) Выставление оценок за работу на уроке.
3)Рефлексия (слайд №8)
Какие формы работы на уроке показались вам наиболее эффективными, наименее эффективными?
Каков основной итог урока для вас лично?

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - конспект.docx

  • урок 17 (Селезнева С.С.) 

     Название предмета

Геометрия
Класс

11
УМК (название учебника, автор, год издания)
Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. Учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013.
Уровень обучения

Базовый
Тема урока

Параллельный перенос. Симметрия и параллельный перенос  в окружающем мире.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
3
Место урока в системе уроков по теме
Урок 2 в п. Движения,  главы 5. Метод координат в пространстве. Движения
Цель урока
Ввести понятие параллельного переноса в пространстве. Совершенствовать знания обучающихся по теме “Движение”, Показать применение симметрии, параллельного переноса в    практическом содержании.
Развитие умения обобщать, развитие интереса к изучаемому предмету, выработать внимание, самостоятельность при работе на уроке.

Задачи урока
Закрепить знания об осевой и центральной симметрии; познакомиться с видами симметрии в биологии; реализовать задачи внутри предметных и межпредметных связей геометрии с биологией, изобразительным искусством, архитектурой, скульптурой, русским языком. Развивать творческое, логическое мышление ученика; углублять знания об окружающем мире путем творческих поисков; развивать потребность к самообразованию. воспитывать эстетическое отношение к красоте законов окружающего мира, умения ценить красоту собственного труда; воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе.

Планируемые результаты
Обучающийся должен знать понятие движения, виды движений, виды симметрий, их проявления в окружающем мире, природе, технике, умение применять полученные знания при решении задач различного уровня сложности.
Техническое обеспечение урока

Компьютер, мультимедийный проектор
Дополнительные методическое и дидактическое обеспечение урока
Геометрия: Учебник для 10-11 кл. ср. шк./ Л.С. Атанасян – М.: Просвещение, 2001;карточки с заданиями на печатной основе.



Содержание урока

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
	Приветствие. Проверка готовности к уроку.
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ.
		1. Устная работа
		Что такое симметрия?
 		Какие виды симметрии вы знаете? 
		Какое отображение плоскости на себя мы назвали осевой симметрией, центральной симметрией?  
		Верно ли утверждение, что при движении в плоскости любая фигура отображается на равную ей фигуру? 
		Какой  четырехугольник имеет только одну ось симметрии?
		Имеет ли центр симметрии фигура, которая состоит из трех прямых, две из которых параллельны, а третья пересекает  первые две?
		Приведите примеры геометрических фигур, которые обладают и осью симметрии и центром симметрии.
		Назовите буквы алфавита, имеющие одну ось симметрии.
		Назовите буквы алфавита, имеющих две оси симметрии (вертикальную и горизонтальную).
III. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.
	1. Симметрия в окружающем мире.
	Сегодня мы с вами продолжаем изучение темы: “Симметрия в пространстве”. С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.
	Обучающиеся представляют свои творческие проекты презентации для сообщения 5- 6 минут, обучающиеся могут выступить группами 2-3  человека. Учитель наблюдает за работой учащихся, консультирует, может представить свою версию «Симметрии вокруг нас» в виде презентации.
	Обратить внимание обучающихся на еще один вид движения известный из курса планиметрии – параллельны перенос. Предложить обучающимся провести работу в парах используя учебник рассмотреть параллельный перенос в пространстве самостоятельно. Затем пригласить  более подготовленного обучающегося к доске и рассмотреть необходимый теоретический материал, внося необходимые поправки. 
	2. Ввести понятие параллельного переноса.
	Параллельный перенос на вектор р - это отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М1, что вектор  равен вектору .
 	Параллельный перенос является  движением.



	Пусть при  параллельном  переносе на вектор   любые две точки А и В переходят в точки  , при чем =, = и докажем, что АВ=, то есть расстояние между данными и им симметричными точками равны.
По правилу треугольника
=+ или =+, тогда ++, а значит
 ++, тогда =, то есть АВ = А1В1
	Таким  образом,  можно  отметить, что параллельный перенос, осевая симметрия, зеркальная симметрия  и центральная симметрия в пространстве являются движениями. 	
	Сформулируем свойства параллельного переноса.
 Параллельный перенос является примером движения пространства.
При параллельном переносе точки смещаются по параллельным или совпадающим прямым на одно и то же расстояние.
При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или сама в себя).
Каковы бы не были две точки А и  , существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка  А переходит в точку .
При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.
	Свойства движения пространства:
Движение сохраняет расстояние между точками.
При любом движении пространства отрезок отображается на отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.
	IV.   ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО.
	Задача № 1.   В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни А и В, чтобы путь АМNВ из деревни А в деревню В был кратчайшим?  (берега реки считаются параллельными прямыми, мост строиться перпендикулярно реке).
	Решение
	Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе, переводящем точку М в точку N, точка А перейдет в некоторую точку . Тогда АМ+МN+NВ=АА1+А1N+NBАА1+А1В (неравенство треугольника), причем равенство достигается, когда точки А1, N, и В лежат на одной прямой.
	Отсюда вытекает следующий способ построения . Выполним параллельный перенос точки А на вектор . Точка А переходит в точку А1. Соединив точку А1 с точкой В, получим точу Д, которая и будет точкой начала моста.

	Задача №2.(для 1варианта)
	Дан тетраэдр МАВС. Постройте фигуру, центрально-симметричную этому тетраэдру относительно точки О .
	Задача №3.( для 2 варианта)
	Дан тетраэдр МАВС. Постройте фигуру, зеркально-симметричную этому тетраэдру относительно плоскости ß.
	Задача № 4 (483( а)).
	При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость β отображается в плоскость . Докажите, что если β || , то || а.
	Решение: Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что
 β || а, но плоскости и а пересекаются. Тогда они имеют общую точку М. Так как M ∈ а, то при данной зеркальной симметрии точка М отображается в себя. Отсюда следует, что точка М, которая принадлежит плоскости, лежит также в плоскости β. Но тогда плоскости а и β пересекаются. Полученное противоречие показывает, что наше предложение неверно, следовательно, || а.
	Задача № 5 (484)
	Дано: 
	Доказать:
	а) а || , если а не параллельна вектору 
	б) а ||, если а параллельна вектору 
	Решение:
	а) пусть при параллельном переносе точка А переходит в точку , точка В в 
точку , тогда = и =, а значит =, то есть АВСД по признаку является параллелограммом. Значит АВ  , а значит а || 
	б) Если а параллельна вектору , то А, В,  лежат на одной прямой, значит, прямая а отображается на себя.
	Если необходимо, учитель помогает, корректирует решения.
V. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
	Вариант 1
1) Концы отрезка А(3; 1; 8) и В (5; 7; 2). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно плоскости  ХOZ . 
 2) Точки А (4; 2; 10), B(10; -2; 8), С(-2; 0; 6) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины D. 
	 Вариант 2
1) Концы отрезка А (5; -2; 1) и В (5; 4; 5). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно начала координат. 
2) Точки В (2; 1; 3), C(1; 1; 4), D(0; 1; 3) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины А. 
	Вариант 3
1) Концы отрезка А (7; -3; 4) и B(-1; -1; 2). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно оси OX. 
2) Точки A(2; 1; 3), C(2; 1; 5), D (0; 1; 1) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины В. 
	Вариант 4
1) Концы отрезка А(2; 1; 3) и В(6; 1; 5). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно плоскости ХОУ. 
2) Точки А (4; 2; -1), В (-4; 2; 1) и D(7; -3; 4) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины С. 
     VI.     ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
	Обучающимся следует прочитать дома п.54-57, особое внимание обратить на п.57, № 485, 488, устно вопросы к главе  v, № 15-17
VI. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА
	Сегодня мы закрепили теоретические знания по теме «Движения» и отрабатывали навыки использования их в процессе решения задач различного уровня сложности.
	Кроме того,  сегодня на уроке,  мы рассмотрели различные проявления симметрии. Мы увидели, что узоры симметрии живут полнокровной жизнью в стилях архитектуры и в предметах домашнего обихода, вспомнили алгоритм построения симметричных геометрических фигур. Модели симметричных форм доставляют нам истинное удовольствие. Ведь они говорят о красоте и гармонии. Я желаю вам огромных успехов и гармонии в отношениях с родными и близкими. Будьте здоровы и счастливы.

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - урок 17 (Селезнева С.С.).docx

Презентация к уроку