Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Уравнение сферы (Николаева О.В.)

Текст урока

  • урок

     Уравнение  сферы
    Название  предмета
    Геометрия
    Класс
    11
    УМК
    Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. 
    Геометрия . 10-11 кл.
    Уровень обучения
    базовый
    Тема урока
    Уравнение сферы
    Общее количество часов, отведенное на  изучение  темы
    18
    Место урока в  системе уроков  по  теме
    9
    Цель урока
    Вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме.
    Задачи урока
    развивать логическое мышление, пространственное восприятие, математически грамотную речь;
    совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, аккуратность.
    Планируемые результаты
    должны знать: 
    уравнение  сферы
    должны уметь:
    составлять уравнение сферы;
    по уравнению сферы находить координаты центра и радиуса
    решать задачи по теме «Шар и сфера»
    Техническое  обеспечение
    компьютер, мультимедийный проектор, экран, классная доска, учебник «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян,  рабочая тетрадь, чертёжные инструменты, ресурсы Интернета,
    Дополнительное методическое и  дидактическое обеспечение урока
    
    Тип урока
    Комбинированный  урок
    Содержание   урока
    1. Организационный момент.
    Учитель:
    – Наметив мелом две точки на классной доске, учительница предлагает юному школьнику задачу: начертить кратчайший путь между этими точками. Ученик, подумав, старательно выводит между ними извилистую линию.
    – Вот так кратчайший путь! - удивляется учительница. – Кто тебя так научил?
    – Мой папа. Он шофер такси.
    Чертеж наивного ученика, конечно, анекдотичен, но разве кратчайшим расстоянием от мыса Доброй Надежды до южной оконечности Австралии является отрезок? Нет, это дуга, которая называется ортодромия, и изучается все это в сферической геометрии, которая очень важна для мореплавания и астрономии (это еще одна неевклидова геометрия).
    И сегодня  на  уроке мы продолжаем изучение сферы.
    2. Мотивация изучения темы
    На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.
    Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка — центр сферы. Заданное расстояние — радиус сферы. Мы   рассмотрели шар и сферу с  позиций геометрии. Сегодня на уроке мы рассмотрим эти фигуры с позиций алгебры. То есть перейдем к описанию сферы при  помощи уравнения.
    Уравнения кривых в большом количестве встречаются при чтении экономической литературы. Напрмер:
    Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.
    Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.
    Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.
    Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.
    Кривая Филлипса - кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.
    Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и анализировать уравнения кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми, уравнения которых заданы.Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств, уравнения которых даны. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной уравнениями системы неравенств. Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M1(x1;y1;z1) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки M1 в уравнение поверхности вместо пере­менных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не лежит.
    Давайте  вспомним,  с  какими  уравнениями  знакомы  мы:
    Заполните   левый столбик   таблицы
    Общее уравнение прямой
    
    Уравнение прямой, проходящей через две данные точки -  A(x1, y1) и B(x2, y2 ):
    
    Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R
    
    Уравнение  плоскости
    
    Уравнение  плоскости, проходящей через начало координат
    
     Уравнение плоскости параллельной оси Οz
    
    Уравнение  сферы
    
    
    Пожалуйста, поменяйтесь тетрадями с соседом и сравните результаты, полученные в ходе выполнения работы. Образец заполнения представлен на   интерактивной  доске:
    
    Общее уравнение прямой
    Ax + By + C = 0.
    Уравнение прямой, проходящей через две данные точки -  A(x1, y1) и B(x2, y2 ):
    
    Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R
    (x - a)2 + (y - b)2 = R2.
    Уравнение  плоскости
    Ax+By+Cz+D=0
    Уравнение  плоскости, проходящей через начало координат
    Ax+By+Cz=0
     Уравнение плоскости параллельной оси Οz
    Ax+By+D=0
    Уравнение  сферы
    ?????
    Критерии оценивания:
    «5»
    «4»
    «3»
    что-то пошло  не  так
    6 правильных ответов
    5 правильных ответов
    3-4 правильных ответа
    менее 3 ответов
    3. Объяснение новой темы
    Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F . Уравнение с тремя переменными х, у, z называется уравнением поверхности Р, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.
    Поэтому уравнение сферы радиуса R с центром О (Хо, Уо, Zo) будет выглядеть таким образом: расстояние от произвольной точки М (х, у, z) до О (Хо, Уо, Zo) вычисляется по формуле
    МО = ,т.к. MO=R
     (х - хо)2 + (у - уо)2 + (z - zo)2 == R2
    Тогда уравнение шара (х - хо)2 + (у - уо)2 + (z - zo)2R 
    4. Закрепление  изученного материала
    группа низкомотивированных обучающихся
    группа  обучающихся  среднего  уровня
    группа высокомотивированных обучающихся
    1.Написать уравнение сферы, радиуса равный 7, центром А (2;0;-1).
    2.Дано уравнение сферы
     (х-3)2 +(у+2)2 + z2 =25. Найдите радиус и координаты центра.
    
    1.Написать уравнение сферы, радиуса равный 7, центром А (2;0;-1).
    2.Дано уравнение сферы (х-3)2 + (у+2)2 + z2 = 25. Найдите радиус и координаты центра.
    3.Выясните, какую геометрическую фигуру определяет уравнение 
    х2 + y2 + z2=l. 
    1.Написать уравнение сферы, радиуса равный 6, центром А (3;-1;0).
    2.Дано уравнение сферы (х-4)2 + у2 + (z+3)2= 16. Найдите радиус и координаты центра.
    3.Выясните, какую геометрическую фигуру определяет уравнение 
    x2 +y2 + z2= 1.
    4.Сколько сфер можно провести через четыре точки, которые являются вершинами квадрата.
    
    
    5. Практическая  работа  обучающего   характера
    1. Изобразите  шар
    2. Постройте возможные сечения  шара  плоскостью
    3. Какие фигуры у вас  получились?
    Знакомясь со свойствами шара, отметим, прежде всего, что если рассечь шар плоскостью, то в сечении получится круг. При этом окружность полученного круга будет сечением сферы, ограничивающей шар. Рисуют окружность на сфере в виде эллипса – сплюснутой окружности
    
    
    
    ТЕОРЕМА. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
    Диаметральная плоскость–это плоскость, проходящая через_________шара.
    Большой круг- это сечение шара______________________________________.
    Большая окружность- это сечение ______________________диаметральной плоскостью.
    Зная, что:
    R- радиус большого круга
    r-радиус малого круга
    d – расстояние от центра шара до сечения 
    Sм -площадь малого круга (сечения)
    Cм -длина окружности малого круга
    Sб -площадь большого круга
    Cб -длина окружности большого круга
    Заполните таблицу
    
    R
    10
    17
    
    
    
    
    
    
    29
    Sш
    
    
    2500 π
    
    
    
    
    
    
    Cб
    
    
    
    82 π
    
    
    58 π
    
    
    Sб
    
    
    
    
    100 π
    
    
    169 π
    
    r
    
    
    15
    9
    
    
    
    
    
    d
    8
    
    
    
    
    20
    21
    12
    21
    Cм
    
    16π
    
    
    
    
    
    
    
    Sм
    
    
    
    
    36 π
    225 π
    
    
    
    6. Разминка для  глаз «Звездное  небо»
    Сферическая геометрия возникла очень давно, еще в Древнем Вавилоне и Древней Греции. И появилась она в результате астрономических наблюдений за движениями звезд и планет на небесной сфере – так древние представляли себе небесный свод. Давайте и мы немного  понаблюдаем за  звездным небом. 
    Сядьте ближе к краю стула, обопритесь о спинку, руки свободно положите на колени, ноги слегка расставьте, так чтобы было удобно. Это поза покоя. Глазами следите за тем, что происходит на слайде и постарайтесь расслабиться.
    Посмотрите на слайд. Представьте, что вы смотрите на звездное небо. Вот яркие звезды мерцают вдали, и вам кажется, что они все ближе и ближе. И вдруг, одна звезда падает. Скорее загадывайте желание! Мимо пролетают метеориты, инопланетяне... Звезды подмигивают вам,  и вы решаетесь рассмотреть их поближе. Но нет ничего желаннее для космонавтов, чем возвращение на любимую планету Земля.
    7.  Решение  задач
    Представляем
    Планируем
    Применяем геометрию
    В пространстве через фиксированную точку некоторой плоскости проводятся всевозможные сферы, касающиеся этой плоскости. Какую фигуру заполнят центры этих сфер?
    Как найти расстояние от точки до сферы
    Как узнать расстояние с мостика корабля до линии горизонта
    Обучающиеся меняют  группу
    Применяем геометрию
    Представляем
    Планируем
    Как узнать с какого расстояния увидят свет маяка с капитанского мостика
    Через фиксированную точку А некоторой сферы проводят всевозможные плоскости, пересекающие эту сферу по окружностям. Какую фигуру заполнят касательные прямые к этим окружностям в точке А?
    Как найти расстояние между сферой и плоскостью, не имеющими общих точек?
    Смена группы происходит  еще  один  раз
    Планируем
    Применяем геометрию
    Представляем
    Как  найти расстояние  между  двумя  точками на  сфере
    Как, находясь на спутнике и зная его высоту над землей, вычислить радиус земли?
    Как расположены касательные плоскости, проведенные через концы диаметра сферы к этой сфере
    8. Домашнее задание:
    *№№ 576,577,578
    ** сообщение «Аналитическая геометрия  в  пространстве»
    9. Рефлексия (оцените по 10-бальной системе: 1-очень плохо,10-превосходно)
    Планировал
    Узнать
    Знаю
    Планировал 
    научиться
    Умею
    Определения шара и сферы
    
    Выполнять чертеж шара и его элементов
    
    Элементы сферы и шара и их определения
    
    Аргументировать сделанные предположения
    
    Какие  фигуры могут получиться при сечении шара плоскостью
    
    Применять ранее полученные знания при решении задач и доказательстве теорем
    
    Историю терминов «Шар»,  «Сфера». 
    
    Решать задачи по теме «Шар и сфера»
    
    
     

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - урок.docx

Презентация к уроку