Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Решение задач на нахождение объема пирамиды
Название предмета
Геометрия
Класс
11
УМК
Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл.
Уровень обучения
базовый
Тема урока
Объем пирамиды
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
21
Место урока в системе уроков по теме
10
Цель урока
формирование навыка нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр вписанной окружности;
формирование навыка нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр описанной около основания окружности
Задачи урока
продолжить формирование знаний о нахождении объема пирамиды и усеченной пирамиды; систематизировать и обобщить знания по применению формул в практической деятельности;
воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль.
развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности
Планируемые результаты
Совершенствование навыков решения задач на вычисление объема пирамиды, усеченной пирамиды; развитие навыков применения формул стереометрии для решения задач; навыков вычислений и тождественных преобразований; аргументированное пояснение этапов решения
Техническое обеспечение
Модели геометрических фигур; плакат; компьютер, проектор, экран, карточки-задания
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока
Раздаточный материал для домашней работы
Тип урока
Урок обобщения и систематизации знаний
Содержание урока
1) сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности
Это урок, завершающий изучение формул и правил вычисления объема пирамиды, разных её видов. Проверка домашнего задания.
1) повторение и актуализация опорных знаний
Устная работа в форме теста, с проверкой у доски.
ТЕСТ:
№
задача
Варианты ответа
1
В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 3 см. Найдите объем призмы.
а) 10 см3
б) 42 см3
в) 60 см3
г) 30 см3
2
В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см, объем пирамиды 6 см3. Чему равна высота?
а) см
б) 3 см
в) см
3
Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?
а) 14 см
б) 12 см
в) 16 см.
4
В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?
а) см3
б) см3
в) см3
5
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.
а) 50 см3
б) 48 см3
в) 16 см3
6
Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. Найти сторону основания.
а) 12 см
б) 9 см
в) 3 см
7
Объем усеченной пирамиды равен 210 см3, площадь нижнего основания 36 см2, верхнего 9 см2. Найдите высоту пирамиды.
а) 1 см
б) 15 см
в) 10 см
8
Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?
а) S
б) 3S
в)
Таблица ответов:
Задача
1
2
3
4
5
6
7
8
Ответ
б
а
б
а
б
в
в
в
2) систематизация изученного материала
базовые задачи:
1. Если боковые ребра пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.
2. Если боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.
Доказательство:
1) ΔМАО = ΔМВО = ΔМСО = ... (равны по катету и гипотенузе или по катету и острому углу).
2) Тогда ОА = ОВ = ОС = ..., т.е. точка О - центр окружности, описанной около основания.
3. Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
4. Если равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
Доказательство:
1) ΔМКО = ΔМЕО = ΔMFO = ... (по катету и острому углу).
2) OK = OE = OF =..., т.е. точка О - центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
3) контроль и коррекция знаний
Решение задач по готовым чертежам, в которых проверяется усвоение выводов, сделанных в базовых задачах.
№1
Дано: ABCD – пирамида, ΔАВС – прямоугольный, ∠С = 90°, АС = 6, ВС = 8, ∠DСO=∠DAO=∠DBO= 45°.
Найти: Vпир.
Решение:
1) Так как ∠DСO=∠DAO=∠DBO= 45°, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.
ΔАВС – прямоугольный, значит, точка О – середина гипотенузы, т.е. АО = ОС = ОВ.
2) ΔАВС, ∠С = 90°, тогда по теореме Пифагора: => АО = 5.
3) ΔAOD: ∠О = 90°, ∠D = ∠А = 45°, DO = OA = 5 – высота пирамиды
4) S∆ABC= AC∙BC =
5) Vпир.=
Ответ: 40.
№2
Дано: ABCD - пирамида. ΔАВС – равнобедренный, АВ = АС = 10, ВС = 12, AD = BD = CD = 15.
Найти: Vпир.
Решение:
1) Так как AD = BD = CD = 15, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания, значит, R = AO.
2) S∆ABC = => R =
Площадь найдем по формуле Герона: S∆ = , где
Р = 10+10+12 = 32; S∆ABC= 48 => .
3) Из ∆AOD по теореме Пифагора найдем OD = = .
4) Vпир.= .
Ответ: 20.
4) постановка заданий на дом
Домашняя работа будет собой представлять проверочную работу по вариантам.
I вариант
1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен . Найдите объем пирамиды.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим углом . Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
4. Основанием пирамиды ABCDM является равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC острым углом , AB = 8 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
II вариант
1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол . Найдите объем пирамиды.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
4. Основанием пирамиды ABCDK является равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC острым углом , AB = см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок.docx
