Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Решение задач на нахождение объема пирамиды (Соколова Н.В.)

Текст урока

  • урок

     Решение задач на нахождение объема пирамиды
    Название  предмета
    Геометрия
    Класс
    11
    УМК
    Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл.
    Уровень обучения
    базовый
    Тема урока
    Объем пирамиды
    Общее количество часов, отведенное на  изучение  темы
    21
    Место урока в  системе уроков  по  теме
    10
    Цель урока
    формирование навыка нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр вписанной окружности;
    формирование навыка нахождения объема пирамиды, у которой вершина проецируется в центр описанной около основания окружности
    Задачи урока
    продолжить формирование знаний о нахождении объема пирамиды и усеченной пирамиды; систематизировать и обобщить знания по применению формул в практической деятельности;
    воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль.
    развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности
    Планируемые результаты
    Совершенствование навыков решения задач на вычисление объема пирамиды, усеченной пирамиды; развитие навыков применения формул стереометрии для решения задач; навыков  вычислений и тождественных преобразований; аргументированное пояснение этапов решения
    Техническое  обеспечение
    Модели геометрических фигур; плакат; компьютер, проектор, экран, карточки-задания
    Дополнительное методическое и  дидактическое обеспечение урока
    Раздаточный материал для домашней работы
    Тип урока
    Урок  обобщения  и  систематизации  знаний
    Содержание   урока
    1) сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности
    Это урок, завершающий изучение формул и правил вычисления объема пирамиды, разных её видов. Проверка домашнего задания.
    1) повторение и актуализация опорных знаний    
    Устная работа в форме теста, с проверкой у доски.
    ТЕСТ:
    №
    задача
    Варианты ответа
    1
    В наклонной призме боковое ребро равно 7 см, перпендикулярное сечение - прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 3 см. Найдите объем призмы.
    а) 10 см3
    б) 42 см3
    в) 60 см3
    г) 30 см3
    2
    В правильной шестиугольной пирамиде сторона ее основания 2 см, объем пирамиды 6 см3. Чему равна высота?
    а)  см
    б) 3 см
    в) см
    3
    Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?
    а) 14 см
    б) 12 см
    в) 16 см.
    
    4
    В правильной треугольной пирамиде высота равна 5 см, стороны основания 3 см. Чему равен объем пирамиды?
    а) см3
    б) см3
    в) см3
    5
    В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.
    а) 50 см3
    б) 48 см3
    в) 16 см3
    6
    Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. Найти сторону основания.
    а) 12 см
    б) 9 см
    в) 3 см
    7
    Объем усеченной пирамиды равен 210 см3, площадь нижнего основания 36 см2, верхнего 9 см2. Найдите высоту пирамиды.
    а) 1 см
    б) 15 см
    в) 10 см
    8
    Равновеликие призма и правильная четырехугольная пирамида имеют равные высоты. Чему равна сторона основания пирамиды, если площадь основания призмы равна S?
    а) S
    б) 3S
    в) 
    
    
    
    Таблица ответов:
    Задача
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    Ответ
    б
    а
    б
    а
    б
    в
    в
    в
    2) систематизация изученного материала 
    базовые задачи:
    1. Если боковые ребра пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.
    2. Если боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания.
    
    Доказательство:
    1) ΔМАО = ΔМВО = ΔМСО = ... (равны по катету и гипотенузе или по катету и острому углу).
    2) Тогда ОА = ОВ = ОС = ..., т.е. точка О - центр окружности, описанной около основания.
    
    
    
    
    3. Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
    4. Если равны высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
    
    Доказательство:
    1) ΔМКО = ΔМЕО = ΔMFO = ... (по катету и острому углу).
    2) OK = OE = OF =..., т.е. точка О - центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
    
    
    
    
    
    3) контроль и коррекция знаний
    Решение задач по готовым чертежам, в которых проверяется усвоение выводов, сделанных в базовых задачах.
    №1
    
    Дано: ABCD – пирамида, ΔАВС – прямоугольный, ∠С = 90°, АС = 6, ВС = 8,  ∠DСO=∠DAO=∠DBO= 45°.
    Найти: Vпир.
    
    Решение:
    1) Так как ∠DСO=∠DAO=∠DBO= 45°,  то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. 
    ΔАВС – прямоугольный, значит, точка О – середина гипотенузы, т.е. АО = ОС = ОВ.
    2) ΔАВС, ∠С = 90°, тогда по теореме Пифагора: =>  АО = 5.
    3) ΔAOD: ∠О = 90°, ∠D = ∠А = 45°, DO = OA = 5 – высота пирамиды
    4) S∆ABC= AC∙BC =                  
    5)   Vпир.= 
    Ответ: 40.
    
    №2
    
    Дано: ABCD - пирамида. ΔАВС – равнобедренный, АВ = АС = 10, ВС = 12, AD = BD = CD = 15.
    Найти: Vпир.
    
    Решение:
    1) Так как AD = BD = CD = 15, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания, значит, R = AO.
    2)  S∆ABC =    => R =  
    Площадь найдем по формуле Герона: S∆ = , где  
    Р = 10+10+12 = 32; S∆ABC= 48 => .
    3) Из ∆AOD  по теореме Пифагора найдем  OD = = .
    4) Vпир.= .
                 Ответ: 20.
    
    4) постановка заданий на дом
    Домашняя работа будет собой представлять проверочную работу по вариантам.
    I вариант
    1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен . Найдите объем пирамиды. 
    2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
    3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетом 5 см и прилежащим углом . Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
    4. Основанием пирамиды ABCDM является равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC острым углом , AB = 8 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
    
    II вариант
    1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол . Найдите объем пирамиды.
    2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
    3. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
    4. Основанием пирамиды ABCDK является равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC острым углом , AB =  см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом . Найдите объем пирамиды.
    
     

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - урок.docx