Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Предметы
Класс
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Умножение вектора на число

Текст урока

  • урок 8(Ибульдина Г.И.) 

     ГЕОМЕТРИЯ, 9 КЛАСС, УРОК: «УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО»


Предмет: Геометрия
Класс: 9 класс. 
УМК: Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2014.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: Умножение вектора на число. 
Общее количество часов, отводимое на изучение темы: 8ч. – гл. «Векторы».
Место урока в системе уроков по теме: шестой при изучении главы, первый урок (п. 83.) при изучении §3. «Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач».

Цель урока: Ввести понятие умножения вектора на число, рассмотреть основные свойства умножения вектора на число.

Задачи урока: 
формирование умения умножать вектор на число; 
изучение свойств умножения вектора на число; 
формирование умений применять изученные значение и свойства к решению задач;
развитие исследовательской компетентности (анализ, обобщение). 

Тип урока: Изучение нового материала в процессе решения задач.

Планируемые результаты:
описывают умножения вектора на число; 
откладывают вектор, равный произведению вектора на число;
формулируют свойства умножения вектора на число; 
применяют изученные определения и свойства к решению задач;
анализируют и обобщают изученный материал урока. 

Техническое обеспечение:
1. Компьютер, проектор, экран.
2. Компьютерная презентация.
3.Чертежные принадлежности.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
1. Изучение геометрии в 7,8,9 классах: Метод. Рекомендации к учеб.: Книга для учителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. – М.: Просвещение, 2009.
2.  Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 9 класс.    

Содержание урока.
I. Организационный момент: назвать цели урока. Слайд 2.
II. Проверка пройденного материала и актуализация:
               Тестирование:
1. Вставьте пропущенное слово.
Вычитание векторов, как и вычитание чисел,  - это действие, ... сложению
( обратное)

2. Что утверждает теорема о разности двух векторов?









Слайд 3. Дополни запись правил:
А) Для любых векторов  и  справедливо равенство:  - = + (-).
Б) Для любых векторов  и  справедливо равенство:  + =+ 
В)Для любых  и      справедливо равенство:  ( + )+ =  + (+)

3. Задача №1. Найдите: . Слайд 4.



III. Объяснение нового материала.
План объяснения.
1. Произведение вектора на число. . Слайды 5, 6.
Определив сложение двух векторов, мы можем рассмотреть суммы вида: а+а, а+а+а и т.д.. Такие суммы, как и в алгебре, обозначаются 2а,3а и т.д. (рисунок1). Этот пример показывает,  что удобно ввести операцию умножения вектора на число, и подсказывает, как дать соответствующее определение.




Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор, длина которого равна |k|*||, причем векторы  и  сонаправлены при k > 0 или k=0 и противоположно направлены при k <0. 
Произведением нулевого вектора  на любое число считается нулевой вектор.
Записать в тетрадях:
1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
2) для  любого  числа  k  и  любого  вектора  векторы  и  коллинеарные

Повторите, при каких условиях векторы коллинеарны? Слайд 7.

2. Следствия из определения: Слайды 8,9,10.

1. 1 =  для любого вектора.
2. (-1)  = - для любого вектора .
3. Если k =0, то либо k=0, либо =0.
4. Если k = k и k>0, то =.
Докажите следствия в самостоятельно.
3. Отработка навыков. Слайды 11,12,13.                               
11. Назовите вектор, который получится в результате умножения.
12. Найдите число k.
13. Выразить векторы АВ и СD через вектор .

4. Законы умножения вектора на число. Слайды 14,1,16.
Умножение вектора на число подчиняется тем же законам, что и умножение чисел. Докажем три закона, справедливые для любых векторов  и   и любых чисел k и m.

1.( k + m)  = k+ m  ( I распределительный закон)
2. k( + ) = k+ k ( II распределительный закон)
3. (k m) = k (m) ( сочетательный закон)

I Распределительный закон.

Доказательство: (учащиеся помогают вести доказательство, заполняя пропуски в записи)
1.	Докажем один из законов, что (k + m)  = k+ m  для любого вектора  и любых чисел k и m.
При k = m=0 справедливость ( k + m)  = k+ m  очевидна для любого вектора
При k = 0  m0 получается равенство m = m , верное для любого вектора и любого числа m (аналогично в случае k0 и m= 0) .  При k0 и m0 предположим, что  k  m, т.е. k0 и   1, тогда вектор  +    .
Кроме того,  = +  = (1 +).
Следовательно, согласно определению произведения вектора на число 
       +  = (1 +).
Умножив это равенство на k0, получим требуемое: ( k + m)  = k+ m . Итак, мы доказали, что ( k + m)  = k+ m  для любого вектора  и любых чисел k и m.
                      
IV. Закрепление полученных знаний:
В силу доказанных свойств умножения вектора на число можно составлять векторные выражения, аналогичные многочленам первой степени в алгебре. Эти выражения можно преобразовывать так же, как преобразуются соответствующие алгебраические выражения, т.е. приводить подобные члены, раскрывать скобки, выносить за  скобки общий множитель, переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком действия и т.д.
Например, 2(3а-4b +c) -3(2a +b -3c) =6a -8b +2c -6a -3b +9c = -11b +11c=11(c-b).
1. Решение №781 учебника. Слайд 17.
2. Задача №2. Построить вектор. Слайд 18. 
3. Резерв. Задача №3. Построить вектор . Слайд 19. 
4. Тестирование: 
1. (Допишите предложение) Каким условиям удовлетворяет произведение k ненулевого вектора  на число k?
А) вектор k сонаправлен с вектором , если k >0 и направлен противоположно вектору 					…
Б) вектор k сонаправлен с вектором 			…
В) вектор k направлен противоположно вектору 	…

V. Подведение итогов урока. 
1. Выводы по теме:
1. Произведением вектора 0 на число k0 называется такой вектор k, для которого выполняются два условия:
1)	модуль вектора k равен произведению модуля числа k и модуля вектора , т.е.  k= k
2)	вектор k сонаправлен с вектором , если k >0, и направлен противоположно вектору , если k<0.

2.  Для любого вектора  и любых чисел k и m выполняется первый распределительный закон: (k+m) =   k+ m
3.  Для векторов  и  и любого числа k выполняется второй распределительный закон:
      k( + ) = k+ k.
4. Для вектора  и любых чисел k и m выполняется сочетательный закон k(m) = (km) 

2. Рефлексия. Какие вопросы, задания вызвали у вас наибольшее затруднение? Что особенно запомнилось? О чем вы могли бы рассказать одноклассникам, которые пропустили данную тему? 
3. Отметки за урок.

VI. Задание на дом: п.83, №№ 778, 779, 782. Спасибо за работу и заботу.

    Автор(ы): Ибульдина Г. И.

    Скачать: Геометрия 9кл - урок 8(Ибульдина Г.И.).doc

  • урок 8 (Егорченкова С.А.) 

     ГЕОМЕТРИЯ, 9 КЛАСС, УРОК №8: «ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО»


Предмет: Геометрия
Класс: 9 класс. 
УМК: Геометрия 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М.: Просвещение, 2013.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: Произведение вектора на число. 
Общее количество часов, отводимое на изучение темы: 8ч. – гл. «Векторы».
Место урока в системе уроков по теме: шестой при изучении главы, первый урок (п. 86.) при изучении §3. «Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач».

Цель урока: Ввести понятие умножения вектора на число, рассмотреть основные свойства умножения вектора на число.

Задачи урока: 
формирование умения умножать вектор на число; 
изучение свойств умножения вектора на число; 
формирование умений применять изученные значение и свойства к решению задач;
развитие исследовательской компетентности (анализ, обобщение). 

Тип урока: Изучение нового материала в процессе решения задач.

Планируемые результаты:
описывают умножения вектора на число; 
откладывают вектор, равный произведению вектора на число;
формулируют свойства умножения вектора на число; 
применяют изученные определения и свойства к решению задач;
анализируют и обобщают изученный материал урока. 

Техническое обеспечение:
1. Компьютер, проектор, экран.
2. Компьютерная презентация.
3.Чертежные принадлежности.

Содержание урока.
I. Организационный момент: назвать цели урока. Слайд 2.
II. Проверка пройденного материала и актуализация:
               Тестирование:
1. Вставьте пропущенное слово.
Вычитание векторов, как и вычитание чисел,  - это действие, ... сложению
( обратное)

2. Что утверждает теорема о разности двух векторов?






Слайд 3. Дополни запись правил:
а) Для любых векторов  и  справедливо равенство:  - = + (-).
б) Для любых векторов  и  справедливо равенство:  + =+ 
в)Для любых  и      справедливо равенство:  ( + )+ =  + (+)

3. Задача №1. Найдите: . Слайд 4.



III. Объяснение нового материала.
План объяснения.
1. Произведение вектора на число. . Слайды 5, 6.
Определив сложение двух векторов, мы можем рассмотреть суммы вида: а+а, а+а+а и т.д.. Такие суммы, как и в алгебре, обозначаются 2а,3а и т.д. (рисунок1). Этот пример показывает,  что удобно ввести операцию умножения вектора на число, и подсказывает, как дать соответствующее определение.




Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор, длина которого равна |k|*||, причем векторы  и  сонаправлены при k > 0 или k=0 и противоположно направлены при k <0. 
Произведением нулевого вектора  на любое число считается нулевой вектор.
Записать в тетрадях:
1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
2) для  любого  числа  k  и  любого  вектора  векторы  и  коллинеарные

Повторите, при каких условиях векторы коллинеарны? Слайд 7.

2. Следствия из определения: Слайды 8,9,10.

1. 1 =  для любого вектора.
2. (-1)  = - для любого вектора .
3. Если k =0, то либо k=0, либо =0.
4. Если k = k и k>0, то =.
Докажите следствия в самостоятельно, опираясь на п.86 учебника, с.203.
3. Отработка навыков. Слайды 11,12,13.                               
11. Назовите вектор, который получится в результате умножения.
12. Найдите число k.
13. Выразить векторы АВ и СD через вектор .

4. Законы умножения вектора на число. Слайды 14,1,16.
Умножение вектора на число подчиняется тем же законам, что и умножение чисел. Докажем три закона, справедливые для любых векторов  и   и любых чисел k и m.

1.( k + m)  = k+ m  ( I распределительный закон)
2. k( + ) = k+ k ( II распределительный закон)
3. (k m) = k (m) ( сочетательный закон)

I Распределительный закон.

Доказательство: (учащиеся помогают вести доказательство, заполняя пропуски в записи)
1.	Докажем один из законов, что (k + m)  = k+ m  для любого вектора  и любых чисел k и m.
При k = m=0 справедливость ( k + m)  = k+ m  очевидна для любого вектора
При k = 0  m0 получается равенство m = m , верное для любого вектора и любого числа m (аналогично в случае k0 и m= 0) .  При k0 и m0 предположим, что  k  m, т.е. k0 и   1, тогда вектор  +    .
Кроме того,  = +  = (1 +).
Следовательно, согласно определению произведения вектора на число 
       +  = (1 +).
Умножив это равенство на k0, получим требуемое: ( k + m)  = k+ m . Итак, мы доказали, что ( k + m)  = k+ m  для любого вектора  и любых чисел k и m.
                      
IV. Закрепление полученных знаний:
В силу доказанных свойств умножения вектора на число можно составлять векторные выражения, аналогичные многочленам первой степени в алгебре. Эти выражения можно преобразовывать так же, как преобразуются соответствующие алгебраические выражения, т.е. приводить подобные члены, раскрывать скобки, выносить за  скобки общий множитель, переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком действия и т.д.
Например, 2(3а-4b +c) -3(2a +b -3c) =6a -8b +2c -6a -3b +9c = -11b +11c=11(c-b).
1. Решение №781 учебника. Слайд 17.
2. Задача №2. Построить вектор. Слайд 18. 
3. Резерв. Задача №3. Построить вектор . Слайд 19. 
4. Тестирование: 
1. (Допишите предложение) Каким условиям удовлетворяет произведение k ненулевого вектора  на число k?
А) вектор k сонаправлен с вектором , если k >0 и направлен противоположно вектору 					…
Б) вектор k сонаправлен с вектором 			…
В) вектор k направлен противоположно вектору 	…

V. Подведение итогов урока. 
1. Выводы по теме:
1. Произведением вектора 0 на число k0 называется такой вектор k, для которого выполняются два условия:
1)	модуль вектора k равен произведению модуля числа k и модуля вектора , т.е.  k= k
2)	вектор k сонаправлен с вектором , если k >0, и направлен противоположно вектору , если k<0.

2.  Для любого вектора  и любых чисел k и m выполняется первый распределительный закон: (k+m) =   k+ m
3.  Для векторов  и  и любого числа k выполняется второй распределительный закон:
      k( + ) = k+ k.
4. Для вектора  и любых чисел k и m выполняется сочетательный закон k(m) = (km) 

2. Рефлексия. Какие вопросы, задания вызвали у вас наибольшее затруднение? Что особенно запомнилось? О чем вы могли бы рассказать одноклассникам, которые пропустили данную тему? 
3. Отметки за урок.

VI. Задание на дом: п.83, №№ 778, 779, 782. Спасибо за работу и заботу.

    Автор(ы): Егорченкова С. А.

    Скачать: Геометрия 9кл - урок 8 (Егорченкова С.А.).doc

  • Конспект 

     Название предмета: Геометрия
Класс: 9
УМК: Геометрия, 7 – 9 Учеб. Для общеобразоват. Учреждений /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 14 – е изд. – М.: Просвещение, 2004.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: Умножение вектора на число.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы:  8 ч.
Место урока в системе уроков по теме: 6 урок.
Цель урока:  познакомиться с  понятием умножение вектора на число; научиться использовать его при решении практических задач на построение суммы и разности векторов и  решении геометрических задач.
Задачи урока:
 -  сформировать понятие произведения вектора на число; совершенствовать  навыки решения практических задач на построение суммы и разности векторов; научить применять знания при решении геометрических задач;
- формировать у учащихся таких приемов мышления и мыслительных операций как сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация, умение делать логические выводы;
- воспитывать самостоятельность и ответственность. 
Планируемые результаты: (обучение ведется не по ФГОС) учащиеся должны
Знать: понятие умножения вектора на число; свойства умножения вектора на число.
Уметь: строить вектор, умноженный на число; решать задачи по теме.
Техническое обеспечение урока: компьютер, мультимедийный проектор.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: оценочный лист.
Содержание урока.

I. Организационный момент(1 – 2 мин).
- Проверить готовность учащихся к уроку (визуально).
II. Проверка Д/з (1-2 мин).
- Проверить решение домашней задачи №125 из рабочей тетради (один из учащихся из своей тетради читает решение, остальные проверяют свое решение, а затем идет обсуждение правильности решения).
№ 125
Упростите выражение ( +  - ) –(  - )
Решение: ( +  - ) –(  - ) = - ) – ( + (-)) – ( + ) =
Ответ: 
 - Собрать тетради на проверку.
II. Актуализация знаний учащихся (5 мин)
1) Индивидуальное задание 2 – 3 учащимся: решить задачу № 127 из рабочей тетради (учащиеся работают самостоятельно, по окончании работы тетради сдают на проверку учителю)
 Задача №127
 Найдите вектор x, если
  а)  -  = 
 б)   -  = 
 в)  -  = 
 Ответ:    а) ;    б)  ;    в) .
2) В это же время фронтальная работа с учащимися: решение задач на готовых чертежах (устно, один из учащихся предлагает свое решение, остальные обсуждают его правильность)
Слайд №2
Ответы: ; ; ; ; ; .

IV.  Изучение нового материала(10 мин).
- Сегодня мы с вами продолжаем работать с векторами  и рассмотрим задачу (слайд №3). Перед нами встала проблема, какая? 
- Учащиеся самостоятельно пробуют формулировать цели урока.(слайд №4)
- Работа с учебником стр. 206 – 207.
- Устная работа по слайду №5
- Знакомство с основными  свойствами  и запись их в тетрадь (слайд №6)
V. Физкультминутка (1 мин) (слайд №7)
VI. Закрепление изученного материала (15 мин).
- Выполнение практических заданий (слайд №8)
-№ 776 (б, г, д) из учебника.
-№777 из учебника
- Решение задач (слайд №8 - 12)
-№779 из учебника
-№781 из учебника сначала решаем, а затем проверяем решение (слайд №9)
- Задачи №1 - №3 на слайдах №10 – №12 (дополнительные, при наличии времени и для более мотивированных учащихся.)

VII. Подведение итогов урока.
 - Слайд №13
VIII. Домашнее задание.
- Слайд №14
П.83 вопросы 14 - 17
Выполнить практические задания
№775,№776(а, в, е)
Решить задачу №780

    Автор(ы): Протопопова Т. Н.

    Скачать: Геометрия 9кл - Конспект.docx

Презентация к уроку

Задания к уроку