Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Примеры использования аксиом при решении задач и доказательстве теорем (Файзулина Л.Д.)

Текст урока

  • конспект

     Название предмета: геометрия
    Класс: 9
    УМК (название учебника, автор, год издания):  Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 12-е изд. - М. : Просвещение, 2014. - 384 с. 
    Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый
    Тема урока: «Примеры использования аксиом при решении задач и доказательстве теорем»
    Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2
    Место урока в системе уроков по теме: 2
    Цель урока: повторить аксиомы планиметрии; научить применять аксиомы планиметрии при решении задач и доказательстве теорем
    Задачи урока: 
    обучающие:
    1. привести в систему теоретические знания по теме “Аксиоматические методы”;
    2.  закрепление навыков решения задач по данной теме;
    3. определить сферы практического использования знаний.
    развивающие:
    1. развивать мыслительные операции (проведение аналогии, анализ, синтез);
    2.  развивать пространственное мышление;
    3.  развивать логическое мышление.
    воспитывающие:
    развивать чувство коллективизма, умение выслушивать ответы товарищей;
    прививать интерес к предмету.
    Планируемые результаты: формирование представлений учащихся об основных понятиях и аксиомах планиметрии, их использовании при решении задач.
    Техническое обеспечение урока: -
    Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы): Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Поздняк Э. Г., 2005.
    Содержание урока: научность материала; связь теории с практикой; раскрытие практической значимости знаний; обучение учащихся применению своих знаний на практике; связь изучаемого материала с ранее пройденным.
    
    
    Дидактическая структура урока
    Деятельность учителя
    Деятельность учеников
    
    Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению планируемых результатов
    
    
    
    
    Организационный момент
    Мотивация к изучению материала
    
     Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.
     Учащиеся готовы к началу работы.
    Приветствуют учителя.
     
    Проверка домашнего задания Актуализация  знаний
     На слайде решение задачи (слайд)
    
     
    Учащиеся проверяют домашнее задание.
    
     Учащиеся выполняют тест с использованием системы оперативного контроля знаний. Выставляют оценки за выполнение теста.
    Тест «Аксиомы планиметрии»
    1. Выберите правильный вариант ответа:
    Теорема – это утверждение …
      а) которое не требуется доказать;
    б) истинность которого принимается без доказательства;
    в) получаемое путем логического доказательства.
    2. Установите соответствие:
    1) Аксиома взаимного расположения точек и прямых;
    2) Аксиома наложения и равенства;
    3) Аксиома измерения отрезков;
    4) Аксиома параллельных прямых
    А)    На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один;
    Б)    Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
    В) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной;
    Г) При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
    3. Вставьте пропущенное слово:
    Каждой прямой принадлежит по крайней мере … точки.
    
    Закрепление нового материала
     Опираясь на аксиомы, можно доказать утверждения без привлечения наглядных представлений о свойствах геометрических фигур. Это относится, в частности, ко всем рассмотренным ранее теоремам. Возьмем, например, теорему, выражающую первый признак равенства треугольников. Ее доказательство опиралось на наглядные представления о наложении и равенстве фигур, понятие «аксиомы» тогда еще не было введено. Напомним это доказательство и рассмотрим его с точки зрения принятых нами аксиом (доказательство теоремы на с. 348 учебника) 
    Отметим, что на той же идее основаны доказательства теорем об углах и высоте равнобедренного треугольника.
    
    А теперь вы поработаете в группах. Каждая группа должна доказать теорему, выражающую второй признак равенства треугольников
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    На той же идее основаны доказательства теорем, выражающих признак параллельности двух прямых и признак равенства равнобедренного треугольника.
     Активно участвуют в обсуждении доказательства.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Требуется доказать, что если , , , то . Рассмотрим такое наложение, при котором луч  наложится на луч , а луч  на луч  (такое наложение существует в силу аксиомы 10). При этом точка  совместится с некоторой точкой  луча , а точка  - с некоторой точкой  луча . Поскольку , то , следовательно, точка  совпадает с точкой  (аксиома 8). Далее точка , а значит и все точки луча , лежат в полуплоскости с границей , содержащей точку , причем . Поэтому (акс.9) луч  совпадает с лучом , откуда по акс. 3 следует, что эта точка совпадает с точкой . Таким образом, при рассматриваемом наложении  и 
     полностью совместятся (акс. 7). 
    
     
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Доказательство второго признака равенства треугольников.
    Контроль
     Учитель предлагает решить задачу.
     Читают задачу. Делают рисунок к задаче. Решают задачу.
    
    Данная прямая  разделяет плоскость на две полуплоскости (акс.6), причем точки  и  лежат в разных полуплоскостях. Поэтому если точка  лежит в одной полуплоскости с точкой , то точки  и  лежат в разных полуплоскостях, а значит, прямая  пересекает отрезок  (рис.). Если же точка  лежит в одной полуплоскости с точкой , то точки  и  лежат в разных полуплоскостях, а значит, прямая  пересекает отрезок .
     Доказать, что если прямая  пересекает сторону  трегольника и не проходит через вершину этого треугольника, то она пересекает либо сторону , либо сторону .
    Рефлексия
     Учащимся   предлагается оценить свою работу на уроке по 10 балльной системе, последовательно отвечая на вопросы:
    Как я усвоил материал?
    получил прочные знания (9 – 10 баллов);
    усвоил новый материал частично (7—8 баллов);
    мало понял, необходимо еще поработать (4—6 баллов).
    Как я работал?
    работал хорошо (9 – 10 баллов);
    допустил ошибки (7 – 8 баллов);
    не справился со многими заданиями (указать какими) (4 – 6 баллов).
    Как работала учебная пара?
    дружно все (9 – 10 баллов);
    не все активны (7—8 баллов);
    работа вялая, много ошибок (4 – 6 баллов).
    
     Учащиеся оценивают свою работу на уроке.
     
    Оценивание работы учащихся
    Учитель выставляет оценки за работу на уроке.
    Все учащиеся получают отметку и фиксируют её в оценочном листе своей рабочей тетради. 
    Оценочные листы
    Задание на дом
    Задание на дом, включающее определение и разъяснение учащимся критериев успешного выполнения домашнего задания.
    
    Реализация необходимых и достаточных условий для успешного выполнения домашнего задания всеми учащимися в соответствии с уровнем их успешности.
    Доказать, что если точка  лежит во внутренней области неразвернутого угла , то луч  пересекает отрезок .
    
     

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 9кл - конспект.docx